《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 已知 $\alpha$ 是锐角,且 $\sin \alpha = \frac{3}{4}$,那么 $\cos (90° - \alpha)$ 的值为( )。

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： A

2. 在 $Rt \triangle ABC$ 中,$\angle C = 90°$,$AC = 12$,$BC = 5$,则下列三角函数值正确的是( )。

A.$\sin A = \frac{5}{13}$
B.$\cos A = \frac{5}{13}$
C.$\tan A = \frac{5}{13}$
D.$\tan B = \frac{5}{13}$

答案： A

3. 在 $Rt \triangle ABC$ 中,$\angle B = 90°$,$\sin A = \frac{1}{2}$,则 $\angle C$ 的度数为( )。

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

答案： C

4. 点 $M(-\sin 60°, \sin 30°)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是( )。

A.$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$
B.$(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$
C.$(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$
D.$(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

答案： B

5. 如图 1,某水库堤坝横截面迎水坡的坡角为 $\alpha$,$\sin \alpha = \frac{3}{5}$,堤坝高 $BC = 30\ m$,则迎水坡面 $AB$ 的长为( )。

A.$35\ m$


B.$40\ m$
C.$45\ m$
D.$50\ m$

答案： D

6. 如图 2,某停车场入口栏杆从水平位置 $AB$ 绕点 $O$ 旋转到 $CD$ 的位置,已知 $AO = a$,栏杆的旋转角 $\angle AOD = 41°$,则栏杆端点 $A$ 上升的垂直距离为( )。

A.$a \sin 41°$
B.$a \cos 41°$
C.$\frac{a}{\sin 41°}$
D.$a \tan 41°$

答案： A

7. 在 $Rt \triangle ABC$ 中,$\angle C = 90°$,$\tan A = 3$,则 $\cos A$ 的值是( )。

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
D.$2$

答案： B 提示:在$Rt\triangle ABC$中,$\tan A=\frac{BC}{AC}=3$.设$AC=x$,则$BC=3x$.由勾股定理,得$AB=\sqrt{10}x$.故$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{x}{\sqrt{10}x}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.

8. 如图 3,在高度为 $30\ m$ 的小山 $A$ 处测得建筑物 $CD$ 的顶部 $C$ 的仰角为 $30°$,底部 $D$ 的俯角为 $45°$,则建筑物 $CD$ 的高度为( )。

A.$(30 + \sqrt{3})\ m$
B.$(30 - \sqrt{3})\ m$
C.$(30 + 10\sqrt{3})\ m$
D.$(30 - 10\sqrt{3})\ m$

答案： C 提示:过点$A$作$AE\perp CD$于点$E$.由题意得$\angle CAE=30^{\circ}$,$\angle EAD=45^{\circ}$,$DE=AB=30m$.$\therefore AE=DE=30m$.在$Rt\triangle AEC$中,$CE=AE\cdot\tan30^{\circ}=10\sqrt{3}m$.$\therefore CD=DE+CE=(30+10\sqrt{3})m$.

9. 如图 4,在锐角三角形 $ABC$ 中,$AB = 10$,$BC = 9$,$\triangle ABC$ 的面积为 $27$,则 $\tan B$ 的值为( )。

A.$\frac{1}{4}$



B.$3$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： D 提示:过点$A$作$AH\perp BC$于点$H$.由$BC=9$,$S_{\triangle ABC}=27$,得$\frac{1}{2}\cdot9\cdot AH=27$.故$AH=6$.又$AB=10$,故$BH=8$.因此$\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

10. (2022 四川广元中考) 如图 5,在正方形网格纸中,每个小正方形的边长都相等,$A$,$B$,$C$,$D$ 都在格点处,$AB$ 与 $CD$ 相交于点 $P$,则 $\cos \angle APC$ 的值为( )。

A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案：
B 提示:不妨设小正方形的边长为1,如图26,把线段$AB$向上平移1个单位得到线段$DE$,连接$CE$,则$DE// AB$.故$\angle APC=\angle EDC$.在$\triangle DCE$中,易得$EC=\sqrt{5}$,$DC=2\sqrt{5}$,$DE=5$.因为$EC^{2}+DC^{2}=DE^{2}$,所以$\triangle DCE$为直角三角形,且$\angle DCE=90^{\circ}$.故$\cos\angle APC=\cos\angle EDC=\frac{DC}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

11. 计算：$2 \cos 60° - \sqrt{3} \sin 60° + \tan 45° = $____。

答案： $\frac{1}{2}$