《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 圆心角：顶点在 ,角的两边与圆相交的角。

答案： 圆心

2. 圆心角、弧、弦之间的关系：
(1) 在同圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的 相等,所对的 也相等。
(2) 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

答案：
(1)弧 弦

1. 下列各角属于圆心角的是( )。

答案： A

2. 如图 1,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AC}$,$\angle AOB = 140^{\circ}$,则$\angle AOC$的度数为( )。

A.$40^{\circ}$
B.$108^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$140^{\circ}$

答案： D

3. 如图 2,在$\odot O$中,$AC$,$BC$是弦,根据条件填空：
(1) 若$AC = BC$,则$\overset{\frown}{AC} = $ ,$\angle AOC = \angle $ ；
(2) 若$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$,则$AC = $ ,$\angle AOC = \angle $ ；
(3) 若$\angle AOC = \angle BOC$,则$\overset{\frown}{AC} = $ ,$AC = $ 。

答案：
(1)$\overset{\frown}{BC}$ BOC
(2)BC BOC
(3)$\overset{\frown}{BC}$ BC

例 如图 3,$A$,$B$,$C是\odot O$上的三个点,其中$A是\overset{\frown}{BC}$的中点,点$D$,$E分别在弦AB$,$AC$上,且满足$AD = CE$。
求证：$OD = OE$。
思路点拨 $OD与OE不是\odot O$的弦,无法用圆心角、弧、弦之间的关系直接证明。考虑到$A是\overset{\frown}{BC}$的中点,若连接$OA$,$OB$,$OC$,易得$\angle BOA = \angle AOC$,为证明$\triangle OAD \cong \triangle OCE$创造条件,从而可证$OD = OE$。
证明 如图 4,连接$OA$,$OB$,$OC$。
$\because A是\overset{\frown}{BC}$的中点,
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$。
$\therefore \angle BOA = \angle AOC$。
又$OA = OB = OC$,

$\therefore \angle B = \angle DAO$,$\angle OAC = \angle C$。
$\therefore \angle DAO = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle BOA) = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle AOC) = \angle C$。
在$\triangle OAD与\triangle OCE$中,$\begin{cases}OA = OC, \\\angle DAO = \angle C, \\AD = CE,\end{cases} $
$\therefore \triangle OAD \cong \triangle OCE(SAS)$。
$\therefore OD = OE$。

答案： 证明：
连接 $OA, OB, OC$。
$\because A$ 是 $\overset{\frown}{BC}$ 的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$。
$\therefore \angle BOA = \angle AOC$。
又 $OA = OB = OC$，
$\therefore \angle B = \angle DAO, \angle OAC = \angle C$。
$\therefore \angle DAO = \frac{1}{2}(180° - \angle BOA) = \frac{1}{2}(180° - \angle AOC) = \angle C$。
在 $\triangle OAD$ 与 $\triangle OCE$ 中，
$\begin{cases}OA = OC, \\ \angle DAO = \angle C, \\ AD = CE,\end{cases}$
$\therefore \triangle OAD \cong \triangle OCE (SAS)$。
$\therefore OD = OE$。