《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的弦,当半径 $ OA = 4 $,$ \angle AOB = 120^{\circ} $ 时,弦 $ AB $ 的长为(D)

A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ 2\sqrt{3} $
D.$ 4\sqrt{3} $

答案： D

3. 在半径为 $ 3 $ 的圆中,一条弦长为 $ 4 $,则圆心到这条弦的距离是(C)
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ \sqrt{5} $
D.$ \sqrt{7} $

答案： C

1. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的弦,$ AB $ 的长为 $ 8 $,$ P $ 是 $ \odot O $ 上一个动点(不与点 $ A $,$ B $ 重合),过点 $ O $ 作 $ OC \perp AP $ 于点 $ C $,$ OD \perp PB $ 于点 $ D $,则 $ CD $ 的长为4。

答案： 4

2. 如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度 $ AB $ 为 $ 16 $ m,拱高 $ CD $ 为 $ 4 $ m。
(1) 求圆弧形拱桥所在圆的半径。
(2) 有一艘宽为 $ 10 $ m 的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面 $ 2 $ m,此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？请说明理由。

答案：
(1) 设圆弧形拱桥所在圆的半径为 $ R $ m，圆心为 $ O $。
∵ $ CD $ 是拱高，$ AB = 16 $ m，
∴ $ CD \perp AB $，$ AD = \frac{AB}{2} = 8 $ m，$ CD = 4 $ m。
设圆心 $ O $ 在直线 $ CD $ 上，$ OD = R - CD = R - 4 $（$ O $ 在 $ D $ 下方）。
在 $ Rt\triangle OAD $ 中，由勾股定理得：$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，
即 $ R^2 = 8^2 + (R - 4)^2 $。
解得 $ R = 10 $。
答：圆弧形拱桥所在圆的半径为 $ 10 $ m。
(2) 能顺利通过。理由如下：
货船高出水面 $ 2 $ m，在水面上方 $ 2 $ m 处作平行于 $ AB $ 的直线，交 $ CD $ 于点 $ F $，则 $ DF = 2 $ m，$ CF = CD - DF = 4 - 2 = 2 $ m。
圆心 $ O $ 到该直线的距离 $ OF = OD + DF = (10 - 4) + 2 = 8 $ m（$ OD = 10 - 4 = 6 $ m）。
设该直线与圆弧交于 $ P $、$ Q $，连接 $ OP $，则 $ OP = 10 $ m。
在 $ Rt\triangle OPF $ 中，$ PF = \sqrt{OP^2 - OF^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6 $ m，
∴ $ PQ = 2PF = 12 $ m。
∵ 货船宽 $ 10 $ m $ ＜ 12 $ m，
∴ 货船能顺利通过。
答：此货船能顺利通过此圆弧形拱桥。

1. 圆的对称性：圆既是轴对称图形,又是中心对称图形；它的对称中心是圆心,它的对称轴是直径所在的直线.

答案： 答题卡：
1. 轴对称（或填“中心对称”中“轴对称”在前位置均可），中心对称，圆心，直径所在的直线（或 任意一条直径所在的直线）。

2. 圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角.

答案： 圆心

3. 弧、弦、圆心角的关系.
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
推广：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也相等.

答案： 弧；弦；相等

自学教科书第 83 页至第 84 页例 3 前的内容,然后回答以下问题：
1. 将一个圆绕圆心旋转任意一个角度后,是否能够与原来的圆重合？是,所以,圆具有旋转不变的特性.
2. 下列各图中的角是圆心角的是①④,不是圆心角的是②③,请说明理由.
3. 用硬纸片做成如下图所示的两个等圆⊙O 和⊙O',在两个圆中分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A'O'B',将两个圆重叠,使 O 与 O'重合.

动手操作：固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得 OA 与 O'A'重合.
发现现象：(1)OB 与O'B'重合；(2)弧 AB 与$\overset{\frown}{A'B'}$重合；(3)弦 AB 与A'B'重合.
结论：∠AOB = ∠A'O'B',AB = A'B',$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{A'B'}$.
【归纳总结】在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
思考：在上面的操作中,如果⊙O 和⊙O'不是等圆,那么结论成立吗？不成立
推广：在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
以上内容可简记为
等圆心角⇔等弧⇔等弦⇔等弦心距.

答案： 1. 是
2. ①④；②③；圆心角的顶点必须在圆心，②③顶点不在圆心
3.
(1)O'B'；
(2)$\overset{\frown}{A'B'}$；
(3)A'B'；∠A'O'B'；A'B'；$\overset{\frown}{A'B'}$；不成立