《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 三角形的外接圆及外心:经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形的外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.

答案： 答题卡作答：
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；
三角形的外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点；
它到三角形三个顶点的距离相等。
故答案为：三角形的外接圆；边的垂直平分线；相等。

2. 一个圆有无数条切线;过圆外一点,可以作圆的2条切线.

答案： 无数；2

3. 切线是直线,它是无限长的,不可度量;切线长是切线上一条线段的长,即圆外一点与切点之间的距离,可以度量.

答案： 该题为概念性题目，无需计算，直接明确概念：
切线定义为直线，具有无限长度，因此不可度量其长；
切线长指的是从圆外一个固定点到圆周上切点之间的线段距离，是有限长度，因此可以度量。
最终结论：
切线是直线，无限长，不可度量。
切线长是线段的长，可以度量。

4. 三角形的内心、外心

答案： 外心性质：到三角形三个顶点的距离相等（即外接圆半径相等）；外心位置：锐角三角形在三角形内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在三角形外部。
内心:内切圆的圆心或三角形三条角平分线交点；内心性质：到三角形三边的距离相等（即内切圆半径相等）；内心位置：三角形内部；角度关系:$∠BIC = 90°+\frac{1}{2}∠A$

1. 如图,过$\odot O外一点P$,引圆的切线$PA$,切点为$A$.因为直线$PA是\odot O$的切线,把图形沿直线$OP$对折后,设圆上与点$A重合的点为B$,则$OB是\odot O$的半径,此时$PB是\odot O$的切线.$PB = $PA,$∠BPO = $∠APO,$\triangle PAB$的形状是等腰三角形.由此我们得到切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。


讨论:在上图中,你还能得到哪些结论?
2. 与$\triangle ABC$三边都相切的圆的作法.

分析:与$\triangle ABC$三边都相切的圆的圆心,到三角形的三边的距离都等于半径,那么这个圆的圆心的位置,是三角形三条角平分线的交点.
第一步:分别作$∠ABC,∠ACB$的角平分线,两线交于点$I$.
第二步:过点$I作ID⊥BC$,垂足为点$D$.
第三步:以点$I$为圆心,以ID为半径,即可作出$\triangle ABC$的内切圆.

答案： 1. 切线；PA；∠APO；等腰三角形；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
讨论：OP垂直平分AB；∠AOB+∠APB=180°；AC=BC；∠OAB=∠OBA等。（答案不唯一，合理即可）
2. 半径；角平分线；ID