《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 在正多边形的有关计算中,我们要构造以边心距、边长的一半及半径为边的直角三角形来进行解题.
(1) 在正$n$边形中,我们以边心距、边长的一半及半径为边构造的直角三角形有2n个,以相邻半径和边长为边构造的等腰三角形有n个.

(2) 正$n$边形的内角和等于(n-2)×180°,每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$.
(3) 正$n$边形的每个中心角为$\frac{360°}{n}$.
(4) 正$n$边形的外角和为360°,每个外角的度数为$\frac{360°}{n}$.

答案：
(1)2n；n；
(2)(n-2)×180°；$\frac{(n-2)×180°}{n}$；
(3)$\frac{360°}{n}$；
(4)360°；$\frac{360°}{n}$

例2 已知正三角形、正方形、正六边形的周长相等,比较这三个正多边形面积的大小,由此你得到什么启示?

答案： 1. 设正三角形、正方形、正六边形的周长均为$ C $。
2. 正多边形面积公式：$ S = \frac{1}{2}Cr $（$ r $为边心距），因周长$ C $相等，故面积大小由边心距$ r $决定，$ r $越大，$ S $越大。
3. 计算各正多边形边心距：
正三角形（$ n=3 $）：边长$ a_3 = \frac{C}{3} $，边心距$ r_3 = \frac{\sqrt{3}a_3}{6} = \frac{\sqrt{3}C}{18} \approx 0.096C $。
正方形（$ n=4 $）：边长$ a_4 = \frac{C}{4} $，边心距$ r_4 = \frac{a_4}{2} = \frac{C}{8} = 0.125C $。
正六边形（$ n=6 $）：边长$ a_6 = \frac{C}{6} $，边心距$ r_6 = \frac{\sqrt{3}a_6}{2} = \frac{\sqrt{3}C}{12} \approx 0.144C $。
4. 比较边心距：$ r_3 ＜ r_4 ＜ r_6 $，故面积大小关系为：$ S_{正三角形} ＜ S_{正方形} ＜ S_{正六边形} $。
5. 启示：周长相等的正多边形，边数越多，面积越大。

判断题.
(1) 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,它们是同心圆. (√)
(2) 各角相等的圆内接多边形是正多边形. (×)
(3) 各边相等的圆内接多边形是正多边形. (√)
(4) 正多边形的外角等于中心角. (√)
(5) 用量角器等分圆周可以画任意多边形. (×)
(6) 用尺规等分圆只能画正六边形. (×)

答案： √×√√××

1. 正三角形的边心距、半径和高的比是(A)
A.$1:2:3$
B.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$1:\sqrt{2}:3$
D.$1:2:\sqrt{3}$

答案： A

2. 一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍,则这个正多边形的半径是(B)
A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$

答案： B

如图,正三角形$ABC的边长是2\sqrt{3}$,求此正三角形的半径、边心距和面积.

答案： 此正三角形的半径是2,边心距是1,面积是$3\sqrt{3}$.