《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例2 试用配方法说明：不论$k$取任何实数,多项式$k^{2}-4k + 5$的值必定大于零。

答案： $k^{2}-4k + 5$
$=k^{2}-4k + 4 + 1$
$=(k - 2)^{2} + 1$
因为$(k - 2)^{2} \geq 0$，所以$(k - 2)^{2} + 1 \geq 1 ＞ 0$。
故不论$k$取任何实数，多项式$k^{2}-4k + 5$的值必定大于零。

变式2 应用配方法求最值。
(1)求$2x^{2}-4x + 5$的最小值；
(2)求$-3x^{2}+5x + 1$的最大值。

答案：
(1)
对于二次函数$y = 2x^{2}-4x + 5$，
其中$a = 2$，$b=-4$，$c = 5$。
配方可得：
$y=2x^{2}-4x + 5=2(x^{2}-2x)+5=2(x^{2}-2x + 1-1)+5=2(x - 1)^{2}-2 + 5=2(x - 1)^{2}+3$。
因为$a = 2\gt0$，所以二次函数图象开口向上，当$x = 1$时，$y$有最小值$3$。
(2)
对于二次函数$y=-3x^{2}+5x + 1$，
其中$a=-3$，$b = 5$，$c = 1$。
配方可得：
$y=-3x^{2}+5x + 1=-3(x^{2}-\frac{5}{3}x)+1=-3(x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}-\frac{25}{36})+1=-3(x-\frac{5}{6})^{2}+\frac{25}{12}+1=-3(x-\frac{5}{6})^{2}+\frac{37}{12}$。
因为$a=-3\lt0$，所以二次函数图象开口向下，当$x=\frac{5}{6}$时，$y$有最大值$\frac{37}{12}$。
综上，
(1)中$2x^{2}-4x + 5$的最小值是$3$；
(2)中$-3x^{2}+5x + 1$的最大值是$\frac{37}{12}$。

2. 解下列方程：
(1)$x^{2}+10x + 9 = 0$；(2)$x^{2}-x-\frac{7}{4}= 0$；
(3)$2x^{2}-x - 1 = 0$；(4)$4t^{2}-8t = 1$。

答案：
(1)移项，得$x^{2}+10x=-9$，配方，得$x^{2}+10x+25=-9+25$，即$(x+5)^{2}=16$，开平方，得$x+5=\pm4$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=-9$。
(2)移项，得$x^{2}-x=\frac{7}{4}$，配方，得$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}+\frac{1}{4}$，即$(x-\frac{1}{2})^{2}=2$，开平方，得$x-\frac{1}{2}=\pm\sqrt{2}$，解得$x_{1}=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，$x_{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$。
(3)两边同除以2，得$x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0$，移项，得$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$，配方，得$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$，即$(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$，开平方，得$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$。
(4)两边同除以4，得$t^{2}-2t=\frac{1}{4}$，配方，得$t^{2}-2t+1=\frac{1}{4}+1$，即$(t-1)^{2}=\frac{5}{4}$，开平方，得$t-1=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得$t_{1}=1+\frac{\sqrt{5}}{2}$，$t_{2}=1-\frac{\sqrt{5}}{2}$。

1. 填空：
(1)$x^{2}+6x + $9$= (x + $3$)^{2}$；
(2)$x^{2}-x + $$\frac{1}{4}$$= (x - $$\frac{1}{2}$$)^{2}$；
(3)$4x^{2}+4x + $1$= (2x + $1$)^{2}$；
(4)$x^{2}-25x + $$\frac{625}{4}$$= (x - $$\frac{25}{2}$$)^{2}$。

答案： 1.
(1)9 3;
(2)$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$;
(3)1 1;
(4)$\frac{625}{4}$ $\frac{25}{2}$.

2. 用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}+6x - 16 = 0$；
(2)$x^{2}-4x + 1 = 0$；
(3)$x^{2}+4 = 3x$。

答案： 2.
(1)$x_{1}=-8$,$x_{2}=2$;
(2)$x_{1}=\sqrt{3}+2$,$x_{2}=-\sqrt{3}+2$;
(3)无实数根.

1. 已知方程$x^{2}-6x + q = 0可以配成(x - p)^{2}= 7$的形式,那么$p + q$的值为(A)
A.5
B.-1
C.2
D.1

答案： A

2. “$a^{2}\geq0$”这个结论在数学中非常重要。有时我们需要将式子配成完全平方式,例如：$x^{2}+4x + 5 = x^{2}+4x + 4 + 1= (x + 2)^{2}+1$,由于$(x + 2)^{2}\geq0得(x + 2)^{2}+1\geq1$,则$x^{2}+4x + 5\geq1$。试利用配方法解决下列问题：
(1)填空：$x^{2}-4x + 5 = ( x-2)^{2}+$1；
(2)已知$x^{2}-4x + y^{2}+2y + 5 = 0$,求$x + y$的值；
(3)试比较$x^{2}-1与2x - 3$的大小。
(2)$x+y=1$;
(3)$x^{2}-1＞2x-3$

答案： 2.
(1)$x-2$ 1;
(2)$x+y=1$;
(3)$x^{2}-1＞2x-3$