《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

3. 猜测：反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象会是什么形状呢？我们可以用什么方法画这个反比例函数的图象？

答案： 答：
反比例函数$y = \frac{6}{x}$的图象是由两支曲线组成的，它们分别位于第一、三象限，以原点为对称中心，形状类似于双曲线。
画这个反比例函数的图象可以用描点法，
步骤如下：
列表：
选择一系列$x$值（$x\ne 0$），计算对应的$y$值，即$y = \frac{6}{x}$，列出数据表。
例如，当$x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, -1, -2, -3, -4, -5, -6$时，对应的$y$值分别为$6, 3, 2, 1.5, 1.2, 1, -6, -3, -2, -1.5, -1.2, -1$。
描点：
在平面直角坐标系中，以列出的每一对$x$，$y$值为点的坐标，描出相应的点。
连线：
用平滑的曲线将描出的点依次连接起来（不要连接成折线），由于反比例函数的图象关于原点对称，如果描点在第一象限，则其关于原点的对称点会在第三象限，同样用平滑曲线连接。
这样，就得到了反比例函数$y = \frac{6}{x}$的图象。

4. 画反比例函数图象的步骤：
(1)列表：自变量的取值应使函数有意义(即 $ x \neq 0 $),同时,所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性,又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小,以便于描点和全面反映图象的特征。
(2)描点：描点时,一般情况下,所选的点越多,则图象越精细。
(3)连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点。

答案：
(1)列表
(2)描点
(3)连线

用描点法来画出反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 和 $ y = \frac{12}{x} $ 的图象。
列表：
| $ x $ | … | $-6$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $6$ | … |
|-----------------|---|--------|--------|--------|--------|--------|-------|-------|-------|-------|-------|---|
| $ y = \frac{6}{x} $ | … |$-1$|$-1.5$|$-2$|$-3$|$-6$|$6$|$3$|$2$|$1.5$|$1$| … |
| $ y = \frac{12}{x} $ | … |$-2$|$-3$|$-4$|$-6$|$-12$|$12$|$6$|$4$|$3$|$2$| … |

描点：以表中各对应值为坐标,在直角坐标系中描出各点。
连线：用平滑的曲线把所描的点依次连接起来。
1. 函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象：在坐标系中描出点：$(-6, -1)$, $(-4, -1.5)$, $(-3, -2)$, $(-2, -3)$, $(-1, -6)$, $(1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(4, 1.5)$, $(6, 1)$，用平滑曲线连接第一象限内的点和第三象限内的点（两曲线不相交）。
2. 函数 $ y = \frac{12}{x} $ 的图象：在坐标系中描出点：$(-6, -2)$, $(-4, -3)$, $(-3, -4)$, $(-2, -6)$, $(-1, -12)$, $(1, 12)$, $(2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(6, 2)$，用平滑曲线连接第一象限内的点和第三象限内的点（两曲线不相交）。

答案： 列表：
| $ x $ | … | $-6$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $6$ | … |
|-----------------|---|--------|--------|--------|--------|--------|-------|-------|-------|-------|-------|---|
| $ y = \frac{6}{x} $ | … | $-1$ | $-1.5$ | $-2$ | $-3$ | $-6$ | $6$ | $3$ | $2$ | $1.5$ | $1$ | … |
| $ y = \frac{12}{x} $ | … | $-2$ | $-3$ | $-4$ | $-6$ | $-12$ | $12$ | $6$ | $4$ | $3$ | $2$ | … |
描点与连线：
1. 函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象
在坐标系中描出点：$(-6, -1)$, $(-4, -1.5)$, $(-3, -2)$, $(-2, -3)$, $(-1, -6)$, $(1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(4, 1.5)$, $(6, 1)$。
用平滑曲线连接第一象限内的点，用平滑曲线连接第三象限内的点（两曲线不相交）。
2. 函数 $ y = \frac{12}{x} $ 的图象
在坐标系中描出点：$(-6, -2)$, $(-4, -3)$, $(-3, -4)$, $(-2, -6)$, $(-1, -12)$, $(1, 12)$, $(2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(6, 2)$。
用平滑曲线连接第一象限内的点，用平滑曲线连接第三象限内的点（两曲线不相交）。
图象特征：
两个函数的图象均为双曲线，关于原点对称。
$ y = \frac{12}{x} $ 的图象比 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象离坐标轴更远。
（注：实际答题时需在答题卡的坐标系中准确描点并连线，此处文字描述替代画图步骤。）

1. 观察反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 与 $ y = \frac{12}{x} $ 的图象,回答下面的问题：
(1) 每个函数的图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内,随着 $ x $ 的增大, $ y $ 的值如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
(3) 对于反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $,考虑问题(1)(2),你能得出同样的结论吗？
一般地,当 $ k ＞ 0 $ 时,对于反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $,由函数图象(见下图),并结合解析式,我们可以发现：
(1) 函数图象分别位于第一、三象限；
(2) 在每一个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

答案：
(1) 函数图象分别位于第一、三象限。
(2) 在每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
理由：设 $x_1\lt x_2$，$x_1,x_2$ 在同一象限，则 $y_1 - y_2=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$，因为 $k\gt0$，$x_2 - x_1\gt0$，$x_1x_2\gt0$，所以 $y_1 - y_2\gt0$，即 $y_1\gt y_2$，所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小。
(3) 对于反比例函数 $y = \frac{k}{x}(k\gt0)$：
(1) 函数图象分别位于第一、三象限；
(2) 在每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
故答案为：
(1)第一、三象限；
(2)$y$ 随 $x$ 的增大而减小。