《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

用配方法解一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$。
移项,得 $ax^{2}+bx= -c$。
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$,
配方,得 $x^{2}+\frac{b}{a}x+$$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$=$$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$-\frac{c}{a}$,即($x+\frac{b}{2a}$)$^{2}= $$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。①
对于方程①的求解,我们需要讨论方程右边式子的值。
因为 $a\neq0$,所以 $4a^{2}＞0$。式子 $b^{2}-4ac$ 的值有以下三种情况：
(1) 当 $b^{2}-4ac＞0$ 时,则 $\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}＞0$,直接开平方,得
$x+\frac{b}{2a}= \pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}= \pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。

$\therefore x_{1}= $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$x_{2}= $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,此时方程有两个不相等的实数根。
(2) 当 $b^{2}-4ac = 0$ 时,则 $\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}= 0$,此时方程有两个相等的实数根,即
$x_{1}= x_{2}= $$-\frac{b}{2a}$。
(3) 当 $b^{2}-4ac＜0$ 时,则 $\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}＜0$,此时 $(x+\frac{b}{2a})^{2}＜0$,而 $x$ 取任何实数都不能使 $(x+\frac{b}{2a})^{2}＜0$,因此方程没有实数根。
【归纳总结】由上可知,一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的根由方程的系数 $a$,$b$,$c$ 决定。
(1) 解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 $ax^{2}+bx + c = 0$。
当 $b^{2}-4ac\geqslant0$ 时,将 $a$,$b$,$c$ 代入式子 $x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 就得到方程的根；
当 $b^{2}-4ac＜0$ 时,方程没有实数根。
(2) $x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的求根公式。
(3) 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
(4) 由求根公式可知,一元二次方程有两个不相等的实数根或者两个相等的实根。
(5) 一般地,式子 $b^{2}-4ac$ 叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 根的判别式,通常用希腊字母“$\Delta$”表示它,即 $\Delta = b^{2}-4ac$。
(6) 公式法解一元二次方程的基本步骤：
①变形：化已知方程为一般形式。
②确定数值：确定 $a$,$b$,$c$ 的值。
③计算：求出 $b^{2}-4ac$ 的值,根据 $b^{2}-4ac$ 值的情况确定方程是否有解。
④代入：若 $b^{2}-4ac\geqslant0$,则将 $a$,$b$,$c$ 的值代入求根公式计算。
⑤定根：求出原方程的根。

答案： $x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$；$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$；$x+\frac{b}{2a}$；$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$；$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；$-\frac{b}{2a}$；没有；两个不相等的；两个相等的

例1 不解方程,判断下列方程的根的情况：
(1) $x^{2}-x + 1 = 0$；
(2) $x(x - 4)= 2 - 8x$。

答案：
(1) 在方程$x^{2}-x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=1$，$\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×1=1 - 4=-3$，$\Delta＜0$，方程无实数根。
(2) 将方程$x(x - 4)= 2 - 8x$化为一般式：$x^{2}-4x - 2 + 8x=0$，即$x^{2}+4x - 2=0$，其中$a=1$，$b=4$，$c=-2$，$\Delta =b^{2}-4ac=4^{2}-4×1×(-2)=16 + 8=24$，$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。