《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 公元前 3 世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”:若两物体与支点的距离反比于其重量,则杠杆平衡.也可这样描述:阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂.
为此,他留下一句名言:给我一个支点,我可以撬动地球.

答案： 设撬动地球时，作用在杠杆一端的动力为$F$，动力臂为$l_{1}$，阻力（即地球的重量）为$G$，阻力臂为$l_{2}$。
根据杠杆定律，有：
$G × l_{2} = F × l_{1}$，
假设我们有一个足够长的杠杆，且动力臂$l_{1}$远大于阻力臂$l_{2}$，那么所需的动力$F$就会远小于阻力$G$。
设地球重量$G$为一个极大的固定值，而动力$F$为我们所能施加的力，假设为一个人的力量，设为$F_{0}$。
为了简化计算，可以设$l_{2}$为一个单位长度，即$l_{2} = 1$。
根据杠杆定律，有：
$F = \frac{G × l_{2}}{l_{1}} = \frac{G}{l_{1}}$。
由于$l_{1}$可以非常大，因此$F$可以非常小，理论上只要$l_{1}$足够长，$F$可以小于或等于$F_{0}$，即一个人所能施加的力。
因此，只要有一个足够长的杠杆和一个合适的支点，理论上一个人是可以撬动地球的（当然，这只是理论上的可能，实际上由于地球的重量极大，所需的杠杆长度将极其漫长，且其他如杠杆的强度、刚度等问题也会限制这一设想的实现）。
结论：根据杠杆定律，给我一个支点，确实可以（理论上）撬动地球。

2. 物理中常见的反比例关系:
(1) 当电压一定时,电流强度与电阻成反比例关系.
(2) 压力一定时,受力面积与压强成反比例关系.
(3)质量一定时,物体的密度 ρ(单位$:kg/m^3)$与它的体积 V(单位$:m^3)$成反比例关系.
(4) 阻力 × 阻力臂 = 动力×动力臂.
(5) 已知力 F 对一个物体做的功一定时,则力F与此物体在力的方向上移动的距离 s 成反比例关系.

答案：
(1)电阻
(2)压强
(3)质量
(4)动力×动力臂
(5)力F

物理课本上的电学知识告诉我们:用电器的输出功率 P、两端的电压 U、用电器的电阻 R 有这样的关系$ PR = U^2,$这个关系也可写为 P = $\frac{U^2}{R}$,或 R = $\frac{U^2}{P}$.

答案： $P = \frac{U^2}{R}$，$R = \frac{U^2}{P}$

1. 小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别是 1200N 和 0.5m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5m 时,撬动石头至少需要多大的力?
(2) 若想使动力 F 不超过(1)中所用力的一半,则动力臂至少要加长多少?

答案：
(1) 根据杠杆原理，有 $F × l = 阻力 × 阻力臂$。
代入已知的阻力和阻力臂值，得：
$F × l = 1200 × 0.5 = 600$。
从上式可以解出 $F$ 关于 $l$ 的函数关系为：
$F = \frac{600}{l}$。
当 $l = 1.5$ 时，代入上式得：
$F = \frac{600}{1.5} = 400 N$。
所以当动力臂为 $1.5m$ 时，撬动石头至少需要 $400N$ 的力。
(2) 若想使动力 $F$ 不超过 $200N$（即 $400N$ 的一半），则有：
$\frac{600}{l} \leq 200$。
解这个不等式，得到：
$l \geq 3$。
原有的动力臂为 $1.5m$，所以需要加长的动力臂长度为：
$3 - 1.5 = 1.5 m$。
所以动力臂至少要加长 $1.5m$。