《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图,已知 $ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $,根据相似的定义,我们有哪些结论？(从对应边上看,从对应角上看)

两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,我们还可以得到哪些结论？

答案： 1. 从对应边上看：
因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，所以$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，即对应边成比例。
2. 从对应角上看：
因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，所以$\angle A = \angle A'$，$\angle B=\angle B'$，$\angle C = \angle C'$，即对应角相等。
3. 两个三角形相似，还可以得到：
相似三角形对应高线、中线、角平分线的比都等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。

2. 教科书第 37 页探究.
若 $ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $,相似比为 $ k $,则它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
(1) 如图,分别作 $ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $ 的对应高 $ AD $ 和 $ A'D' $,对应高 $ AD $ 与 $ A'D' $ 的比和相似比 $ k $ 有什么关系？试写出推导过程.

(2) 类似地,相似三角形对应中线、对应角平分线的比与相似比有什么关系？试写出推导过程.
【归纳总结】一般地,相似三角形对应线段的比等于相似比.
(3) 思考：相似三角形面积的比有什么关系？
由前面结论,
$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \frac{\frac{1}{2}BC \cdot AD}{\frac{1}{2}B'C' \cdot A'D'} = \frac{BC}{B'C'} \cdot \frac{AD}{A'D'} = k \cdot k = k^2.$
由此我们得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方.

答案：
(1)
因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，相似比为$k$，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$。
$\triangle ABD$与$\triangle A'B'D'$相似，理由如下：
因为$AD\perp BC$，$A'D'\perp B'C'$，所以$\angle ADB = \angle A'D'B' = 90^{\circ}$。
又因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，所以$\angle B=\angle B'$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$。
那么$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应高$AD$与$A'D'$的比等于相似比$k$。
(2)
对应中线：
设$AE$是$\triangle ABC$的中线，$A'E'$是$\triangle A'B'C'$的中线。
因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，所以$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，$\angle B = \angle B'$。
又因为$BE=\frac{1}{2}BC$，$B'E'=\frac{1}{2}B'C'$，所以$\frac{BE}{B'E'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$。
在$\triangle ABE$和$\triangle A'B'E'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BE}{B'E'}=k$，$\angle B = \angle B'$，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABE\sim\triangle A'B'E'$。
所以$\frac{AE}{A'E'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即相似三角形对应中线的比等于相似比$k$。
对应角平分线：
设$AF$平分$\angle BAC$，$A'F'$平分$\angle B'A'C'$。
因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，所以$\angle BAC=\angle B'A'C'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k$。
因为$AF$平分$\angle BAC$，$A'F'$平分$\angle B'A'C'$，所以$\angle BAF=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle B'A'F'=\frac{1}{2}\angle B'A'C'$，则$\angle BAF=\angle B'A'F'$。
在$\triangle ABF$和$\triangle A'B'F'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\angle BAF（夹角）对应的两边比例中的一边}{\angle B'A'F'（夹角）对应的两边比例中的一边}$（这里从相似及角平分线得到角相等和边比例关系），$\angle B = \angle B'$，$\angle BAF=\angle B'A'F'$，所以$\triangle ABF\sim\triangle A'B'F'$。
所以$\frac{AF}{A'F'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即相似三角形对应角平分线的比等于相似比$k$。
【归纳总结】一般地，相似三角形对应线段的比等于相似比。
(3)
由前面结论，$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot AD}{\frac{1}{2}B'C'\cdot A'D'}=\frac{BC}{B'C'}\cdot\frac{AD}{A'D'}=k\cdot k = k^{2}$。
由此我们得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
综上，若$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，相似比为$k$，则它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比$k$，相似三角形面积的比等于相似比的平方$k^{2}$。