《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 一个三角形支架的三条边长分别是 $ 75 \, cm $,$ 100 \, cm $,$ 120 \, cm $. 现要再做一个与其相似的三角形木架,只有长为 $ 60 \, cm $,$ 120 \, cm $ 的两根木条. 要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有(B)
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种

答案： B

1. 填空.
(1) 如果两个相似三角形对应边的比为 $ 3 : 5 $,那么它们的相似比为$3:5$,对应高的比为$3:5$,面积的比为$9:25$.
(2) 如果两个相似三角形面积的比为 $ 3 : 5 $,那么它们的相似比为$\sqrt{3}:\sqrt{5}$,对应中线的比为$\sqrt{3}:\sqrt{5}$.
(3) 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的相似比等于$1:2$,面积比等于$1:4$.
(4) 两个相似三角形对应的中线长分别是 $ 6 \, cm $ 和 $ 18 \, cm $. 若较大三角形的面积是 $ 12 \, cm^2 $,则较小三角形的面积为$\frac{4}{3}$$ cm^2 $.

答案：
(1)$3:5$，$3:5$，$9:25$
(2)$\sqrt{3}:\sqrt{5}$，$\sqrt{3}:\sqrt{5}$
(3)$1:2$，$1:4$
(4)$\frac{4}{3}$

2. 如图,在正方形网格图上有 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 和 $ \triangle A_2B_2C_2 $,这两个三角形相似吗？如果相似,求出 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 和 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 的面积比.
]

答案： 相似。
计算△A₁B₁C₁各边长（网格边长为1）：
$ A_1B_1 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ B_1C_1 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $
$ A_1C_1 = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $（假设，实际以网格为准，此处按比例推导）
计算△A₂B₂C₂各边长：
$ A_2B_2 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
$ B_2C_2 = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
$ A_2C_2 = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} $（对应比例）
三边比例：$ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2} $，成比例，故相似。
面积比为相似比平方：$ \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{5}{2} $
5:2

1. 判断下列说法是否正确.
(1) 如果把一个三角形各边同时扩大为原来的 $ 5 $ 倍,那么它的对应角平分线也扩大为原来的 $ 5 $ 倍. (√)
(2) 如果把一个三角形的面积扩大为原来的 $ 9 $ 倍,那么它的三边也扩大为原来的 $ 9 $ 倍. (×)

答案：
(1) √
(2) ×

2. 若两个相似三角形对应边之比是 $ 2 : 3 $,则它们的对应角平分线之比为(B)
A.$ 4 : 9 $
B.$ 2 : 3 $
C.$ 1 : 1 $
D.$ 3 : 2 $

答案： B

3. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ E $ 为 $ CD $ 上一点,连接 $ AE $,$ BD $,且 $ AE $ 与 $ BD $ 相交于点 $ F $,$ S_{\triangle DEF} : S_{\triangle ABF} = 4 : 25 $,则 $ EC : DE $ 等于(D)

A.$ 5 : 2 $
B.$ 5 : 3 $
C.$ 2 : 3 $
D.$ 3 : 2 $

答案： D

4. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AD // BC $,$ \angle B = \angle ACD = 90° $.
(1) 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle DCA $.
(2) 若 $ BC = 1 $,$ AC = 2 $,求 $ AD $ 的长.
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答案：
(1)
因为 $AD // BC$,
所以 $\angle BAC = \angle DCA$（内错角相等）。
已知 $\angle B = \angle ACD = 90°$。
根据三角形相似的判定定理，如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。
所以 $\triangle ABC \sim \triangle DCA$。
(2)
由（1）知 $\triangle ABC \sim \triangle DCA$，
所以 $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{AC}$（相似三角形的对应边成比例）。
已知 $BC = 1$，$AC = 2$，
代入比例式得：
$\frac{2}{AD} = \frac{1}{2}$
$AD = 4$
故 $AD$ 的长为 $4$。