《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 将方程$3x(x - 1) = 5(x + 2)$化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

答案： 解：$3x(x - 1) = 5(x + 2)$
去括号，得$3x^2 - 3x = 5x + 10$
移项、合并同类项，得$3x^2 - 8x - 10 = 0$
二次项系数：3
一次项系数：-8
常数项：-10

变式1 将下列一元二次方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)$5x^2 - 1 = 4x$；(2)$4x^2 = 81$；
(3)$4x(x + 2) = 25$；
(4)$(3x - 2)(x + 1) = 8x - 3$.

答案：
(1) 解：
原方程 $5x^2 - 1 = 4x$ 可化为一般形式：
$5x^2 - 4x - 1 = 0$
其中，二次项系数 $a = 5$，一次项系数 $b = -4$，常数项 $c = -1$。
(2) 解：
原方程 $4x^2 = 81$ 可化为一般形式：
$4x^2 - 81 = 0$
其中，二次项系数 $a = 4$，一次项系数 $b = 0$，常数项 $c = -81$。
(3) 解：
原方程 $4x(x + 2) = 25$ 可展开为：
$4x^2 + 8x - 25 = 0$
其中，二次项系数 $a = 4$，一次项系数 $b = 8$，常数项 $c = -25$。
(4) 解：
原方程 $(3x - 2)(x + 1) = 8x - 3$ 可展开为：
$3x^2 + 3x - 2x - 2 = 8x - 3$
进一步化简为一般形式：
$3x^2 - 7x + 1 = 0$
其中，二次项系数 $a = 3$，一次项系数 $b = -7$，常数项 $c = 1$。

变式2 若关于$x的方程(a - 2)x^2 - 2ax + a + 2 = 0$是一元二次方程,则( )

A.$a = 2$
B.$a = - 2$
C.$a = 0$
D.$a \neq 2$

答案： D

1. 下列关于$x$的方程中,哪些是一元二次方程？
(1)$x^3 - 2x^2 + 5 = 0$；
(2)$x^2 = 1$；
(3)$\frac{1}{x^2 - 5x} + 6 = 0$；
(4)$2x^2 - x(2x + 1) = 0$；
(5)$x^3 - x + x^2 = x^3 - 1$；
(6)$ax^2 + bx + c = 0$.

答案： （1）方程中$x$的最高次数是$3$，所以它不是一元二次方程。
（2）方程中$x$的最高次数是$2$，且二次项系数不为$0$，所以它是一元二次方程。
（3）方程中含有分式，不是整式方程，所以它不是一元二次方程。
（4）$2x^2 - x(2x + 1) = 2x^2 - 2x^2 - x = -x = 0$，方程化简后为一元一次方程，所以它不是一元二次方程。
（5）$x^3 - x + x^2 = x^3 - 1$，即$x^2 -x+ 1 = 0$，方程中$x$的最高次数是$2$，且二次项系数不为$0$，所以它是一元二次方程。
（6）当$a = 0$时，方程不是一元二次方程，由于$a$的值不确定，所以它不一定是一元二次方程。
综上所述，只有（2）（5）是一元二次方程。