《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 某铁路全长 1463 km,某次列车的平均速度 $ v $(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间 $ t $(单位：h)的变化而变化。其关系可用函数式表示为 $v = \frac{1463}{t}(t\gt0)$。

答案： 根据路程、速度、时间的关系，有公式$s = vt$（其中$s$表示路程，$v$表示速度，$t$表示时间）。
已知铁路全长$s = 1463km$，变形公式可得$v=\frac{s}{t}=\frac{1463}{t}$。
因为时间$t\gt0$，所以$v = \frac{1463}{t}(t\gt0)$。
答案为$v = \frac{1463}{t}(t\gt0)$。

2. 某住宅小区要种植一块面积为 $ 1000 m^{2} $ 的矩形草坪,草坪的长 $ y $(单位：m)随宽 $ x $(单位：m)的变化而变化。其关系可用函数式表示为 $y=\dfrac{1000}{x}(x＞0)$。

答案： 因为矩形的面积等于长乘以宽，已知面积为$1000m^2$，所以$xy = 1000$，变形可得$y=\dfrac{1000}{x}$（$x＞0$）。
$y=\dfrac{1000}{x}(x＞0)$

3. 已知某市的总面积为 $ 1.64 × 10^{4} $ 平方千米,人均占有的土地面积 $ S $(单位：平方千米/人)随全市总人口数 $ n $(单位：人)的变化而变化。其关系可用函数式表示为 $S=\dfrac{1.64×10^{4}}{n}$。

答案： $S=\dfrac{1.64×10^{4}}{n}$

4. 一般地,形如 $y = \frac{k}{x}$($ k $ 是常数,$ k \neq 0 $)的函数叫做反比例函数。
注意：(1)反比例函数的解析式也可以写成 $ xy = k $ 或 $ y = kx^{-1} $($ k $ 是常数,$ k \neq 0 $)；
(2)两个变量的积均是一个常数(或定值),这也是识别两个变量是否成反比例函数关系的关键。

答案： $y = \frac{k}{x}$

下列函数关系中,哪些是反比例函数？
(1)已知平行四边形的面积是 $ 12 cm^{2} $,它的一边是 $ a $(单位：cm),这边上的高是 $ h $(单位：cm),则 $ a $ 与 $ h $ 的函数关系；
(2)压强 $ p $ 一定时,压力 $ F $ 与受力面积 $ S $ 的关系；
(3)功是常数 $ W $ 时,力 $ F $ 与物体在力的方向上通过的距离 $ s $ 的函数关系；
(4)某乡粮食总产量为 $ m $ 吨,那么该乡人均拥有粮食 $ y $(单位：吨/人)与该乡人口数 $ x $(单位：人)的函数解析式。

答案：
(1) 由平行四边形面积公式 $S = a × h$，给定 $S = 12 cm^2$，则 $a$ 与 $h$ 的关系为：
$a = \frac{12}{h}$
这是一个反比例函数。
(2) 由压强公式 $p = \frac{F}{S}$，当压强 $p$ 一定时，压力 $F$ 与受力面积 $S$ 的关系为：
$F = p × S$
由于$p$为常数，所以$F$与$S$成正比，不是反比例函数。
(3) 由功的公式 $W = F × s$，给定功 $W$ 为常数，则力 $F$ 与距离 $s$ 的关系为：
$F = \frac{W}{s}$
这是一个反比例函数。
(4) 由题意知，粮食总产量 $m$ 为常数，人均拥有粮食 $y$ 与人口数 $x$ 的关系为：
$y = \frac{m}{x}$
这是一个反比例函数。
综上，（1）（3）（4）是反比例函数。

1. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数,当 $ x = 2 $ 时,$ y = 6 $。
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式；
(2)当 $ x = 4 $ 时,求 $ y $ 的值。
【归纳总结】要求出反比例函数的解析式,只要求出 比例系数$k$即可。

答案：
(1)设反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$，
将$x = 2$，$y = 6$代入得：$6 = \frac{k}{2}$，
解得$k = 12$，
故函数解析式为$y = \frac{12}{x}$。
(2)当$x = 4$时，$y = \frac{12}{4} = 3$。
【归纳总结】比例系数$k$