《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 回顾上面我们利用函数图象,从特殊到一般研究反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的性质的过程,你能用类似的方法研究反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＜ 0) $ 的图象和性质吗？
一般地,当 $ k ＜ 0 $ 时,对于反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $,由函数图象(见下图),并结合解析式,我们可以发现：
(1) 函数图象分别位于第二、四象限；
(2) 在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大。

答案：
(1) 第二、四象限；
(2) y 随 x 的增大而增大。

猜想：① 当图象的两个分支无限延伸时,它可能与坐标轴相交吗？请说明理由。
② 双曲线是对称图形吗？若是,说明是什么对称图形；若不是,说明理由。

答案： ① 不会相交。理由：反比例函数y=k/x（k≠0）中，x≠0且y≠0，故图象与坐标轴无交点。
② 是对称图形。既是中心对称图形，对称中心是原点；也是轴对称图形，对称轴是直线y=x和y=-x。

在如图的平面直角坐标系中,画出反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 和 $ y = -\frac{3}{x} $ 的图象。

答案： 绘制 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象
1. 列表：
| $ x $ | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 |
|--------|----|----|----|---|---|---|
| $ y $ | -1 | -1.5 | -3 | 3 | 1.5 | 1 |
2. 描点：在坐标系中描出点 $(-3,-1)$, $(-2,-1.5)$, $(-1,-3)$, $(1,3)$, $(2,1.5)$, $(3,1)$。
3. 连线：用平滑曲线连接第一象限内的点，用平滑曲线连接第三象限内的点，图象不与坐标轴相交。
绘制 $ y = -\frac{3}{x} $ 的图象
1. 列表：
| $ x $ | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 |
|--------|----|----|----|---|---|---|
| $ y $ | 1 | 1.5 | 3 | -3 | -1.5 | -1 |
2. 描点：在坐标系中描出点 $(-3,1)$, $(-2,1.5)$, $(-1,3)$, $(1,-3)$, $(2,-1.5)$, $(3,-1)$。
3. 连线：用平滑曲线连接第二象限内的点，用平滑曲线连接第四象限内的点，图象不与坐标轴相交。
结论：反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象为位于第一、三象限的双曲线；$ y = -\frac{3}{x} $ 的图象为位于第二、四象限的双曲线。

设 $ \triangle ABC $ 中边 $ BC $ 的长为 $ x \, cm $,边 $ BC $ 上的高 $ AD $ 的长为 $ y \, cm $。现一探究小组测得两个变量 $ x(x ＞ 0) $, $ y(y ＞ 0) $ 的一组对应值如下表：

(1) 在给出的平面直角坐标系中,用描点法画出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数的图象；
(2) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(3) 如果边 $ BC $ 的长不小于 $ 8 \, cm $,求高 $ AD $ 的取值范围。

答案：
(1)略;
(2)$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$;
(3)高AD不大于$\dfrac{3}{4}\ cm$.