《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

如图,甲楼$AB高18m$,乙楼$CD$在甲楼的正北面.已知当地冬至中午$12$时,物高与影长的比是$1:\sqrt{2}$.如果两楼相距$20m$,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?

答案： 解：设甲楼的影子落在乙楼上的点为$E$，过$E$作$EG \perp AB$于$G$。
∵四边形$BDEG$为矩形，
∴$EG = BD = 20\,m$，$BG = ED$。
由物高与影长比为$1:\sqrt{2}$，得太阳光线与地面夹角$\theta$满足$\tan\theta=\frac{物高}{影长}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
在$Rt\triangle AGE$中，$\tan\theta=\frac{AG}{EG}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
且$AG = AB - BG = AB - ED = 18 - ED$，
∴$\frac{18 - ED}{20}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
解得$ED = 18 - \frac{20}{\sqrt{2}}=18 - 10\sqrt{2}$。
答：甲楼的影子落在乙楼上的高度为$(18 - 10\sqrt{2})\,m$。

变式 题目中甲楼影子的长度等于$BD + DE$吗? 为什么?

答案： 设同一时刻，物高与影长之比为定值$k$。
甲楼的高度为$h_{甲}$，甲楼影子的长度为$h_{甲} ÷ k$。
在直角三角形中，假设相关角度为$\theta$，则$BD$为甲楼影子在水平方向上的投影长度的一部分，$BD = \frac{h_{甲}}{k} \cdot \cos\theta - 其他建筑等影响产生的缩短量（若有）$，但在无其他遮挡等理想情况下，且太阳光线与地面夹角确定，若只考虑甲楼自身，其影子水平投影理论值就是$ \frac{h_{甲}}{k}$相关表达。
设$DE$为另一段影子长度（比如其他物体影子或甲楼影子因某障碍物断开后另一段等），从影子构成的几何关系来看，甲楼影子是连续的（无遮挡等特殊情况），其影子长度就是从甲楼顶端垂直向下到影子末端的水平距离，并不等于$BD + DE$，因为$DE$与甲楼影子没有这种叠加构成甲楼影子总长的关系，甲楼影子长度是由其自身高度和太阳光线角度决定的单一连续长度值，而$BD + DE$是把不同段简单相加，不符合甲楼影子实际构成。
所以甲楼影子的长度不等于$BD + DE$。

1. 如图,小明想测量一棵大树$AB$的高度,发现树的影子恰好落在土坡的坡面$CD和地面CB$上.测得$CD = 4m$,$BC = 10m$,$CD与地面成30^{\circ}$角,且测得$1m竹竿的影子长为2m$,那么树的高度是多少?

答案： 过点D作DE⊥地面于E，DF//BC交AB于F。
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，CD=4m，
∴DE=CD·sin30°=4×1/2=2m，
CE=CD·cos30°=4×(√3/2)=2√3 m。
由题意，太阳光线平行，物高与影长比为1:2，即光线斜率为-1/2。
设树高AB=h，A(0,h)，D(BC+CE,DE)=(10+2√3,2)。
直线AD斜率k=(2-h)/(10+2√3-0)=-1/2，
∴(2-h)/(10+2√3)=-1/2，
解得h=7+√3。
答：树的高度是(7+√3)m。

2. 如图,一段街道的两边缘所在直线分别为$AB$,$PC$,并且$AB// PC$.建筑物$DE的一端所在的直线MN垂直AB于点M$,交$PC于点N$.小亮从胜利街的$A$处,沿$AB$方向前进,小明一直站在$P$点的位置等候小亮.
(1) 请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置(用点$C'$标出);
(2) 已知$MN = 20m$,$MD = 8m$,$PN = 24m$,求(1)中的$C'点到胜利街口的距离C'D$.

答案：
(2) $8\sqrt{5}\ m$