《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 6 如图,一次函数 $ y = ax + b(a\neq0) $ 的图象与反比例函数 $ y= \frac{k}{x}(k\neq0) $ 的图象交于点 $ A(1,4) $,$ B(n,-1) $.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 利用图象,直接写出不等式 $ ax + b＜\frac{k}{x} $ 的解集；
(3) 已知点 $ D $ 在 $ x $ 轴上,点 $ C $ 在反比例函数图象上. 若以 $ A,B,C,D $ 为顶点的四边形是平行四边形,求点 $ C $ 的坐标.

答案：
(1) 反比例函数：将$A(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{1}$，$k=4$，$\therefore y=\frac{4}{x}$。
将$B(n,-1)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$-1=\frac{4}{n}$，$n=-4$，$\therefore B(-4,-1)$。
将$A(1,4)$，$B(-4,-1)$代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}a+b=4\\-4a+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\b=3\end{cases}$，$\therefore y=x+3$。
(2)$x＜-4$或$0＜x＜1$
(3)设$D(m,0)$，$C(t,\frac{4}{t})$。
①$AB$为对角线：$\frac{t+m}{2}=-\frac{3}{2}$，$\frac{\frac{4}{t}}{2}=\frac{3}{2}$，解得$t=\frac{4}{3}$，$C(\frac{4}{3},3)$。
②$AC$为对角线：$\frac{1+t}{2}=\frac{m-4}{2}$，$\frac{4+\frac{4}{t}}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$t=-\frac{4}{5}$，$C(-\frac{4}{5},-5)$。
③$AD$为对角线：$\frac{1+m}{2}=\frac{t-4}{2}$，$\frac{4}{2}=\frac{-1+\frac{4}{t}}{2}$，解得$t=\frac{4}{5}$，$C(\frac{4}{5},5)$。
综上，$C(\frac{4}{3},3)$或$(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5)$。

1. 已知反比例函数 $ y= \frac{k}{x}(k\neq0) $,且在各自象限内,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则下列点可能在这个函数图象上的为(B)
A.$ (2,3) $
B.$ (-2,3) $
C.$ (3,0) $
D.$ (-3,0) $

答案： B

2. 反比例函数 $ y= \frac{4}{x} $ 的图象上有 $ P(t,y_{1}) $,$ Q(t + 4,y_{2}) $ 两点. 下列正确的选项是(A)
A.当 $ t＜-4 $ 时,$ y_{2}＜y_{1}＜0 $
B.当 $ -4＜t＜0 $ 时,$ y_{1}＜y_{2}＜0 $
C.当 $ -4＜t＜0 $ 时,$ 0＜y_{1}＜y_{2} $
D.当 $ t＞0 $ 时,$ 0＜y_{1}＜y_{2} $

答案： A

3. 在平面直角坐标系中,将点 $ A(2,3) $ 向下平移 $ 5 $ 个单位长度得到点 $ B $,若点 $ B $ 恰好在反比例函数 $ y= \frac{k}{x} $ 的图象上,则 $ k $ 的值是 $-4$.

答案： $-4$（题目是填空题，直接填$-4$即可）

4. 点 $ (2a - 1,y_{1}) $,$ (a,y_{2}) $ 在反比例函数 $ y= \frac{k}{x}(k＞0) $ 的图象上,若 $ 0＜y_{1}＜y_{2} $,则 $ a $ 的取值范围是 $a＞1$.

答案： $a＞1$

5. 在反比例函数 $ y= \frac{2}{x}(x＞0) $ 的图象上有点 $ P_{1},P_{2},P_{3},P_{4} $,它们的横坐标依次为 $ 1,2,3,4 $,分别过这些点作 $ x $ 轴与 $ y $ 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 $ S_{1},S_{2},S_{3} $,则 $ S_{1}+S_{2}+S_{3}= $ $\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

1. 在平面直角坐标系中,将点 $ A(2,3) $ 向下平移 $ 5 $ 个单位长度得到点 $ B $. 若点 $ B $ 恰好在反比例函数 $ y= \frac{k}{x} $ 的图象上,则 $ k $ 的值是 -4.

答案： -4

2. 已知 $ u $ 与 $ t $ 成反比,且当 $ u = 6 $ 时,$ t= \frac{1}{8} $,则这个函数的解析式为 $u=\dfrac{3}{4t}$.

答案： $u=\dfrac{3}{4t}$

3. 反比例函数 $ y= \frac{m + 1}{x} $ 的图象经过点 $ (2,1) $,则 $ m $ 的值是 1.

答案： 1