《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

9. 用因式分解法解下列方程:
(1) $ x^{2}= \sqrt{5}x $;
(2) $ 3x(x - 1)= 2x - 2 $;
(3) $ (x + 1)^{2}-25 = 0 $;
(4) $ 2(x - 3)= x^{2}-9 $.

答案：
(1)$ x_{1}=0,x_{2}=\sqrt{5} $;
(2)$ x_{1}=1,x_{2}=\frac{2}{3} $;
(3)$ x_{1}=4,x_{2}=-6 $;
(4)$ x_{1}=3,x_{2}=-1 $.

1. 用 8 块相同的长方形地砖拼成面积为 $ 2400cm^{2} $ 的矩形 $ ABCD $(如图),则矩形 $ ABCD $ 的周长为多少?

答案： 200 cm

2. 已知 $ 9a^{2}-4b^{2}= 0 $,求代数式 $ \frac{a}{b}-\frac{b}{a}-\frac{a^{2}+b^{2}}{ab} $ 的值.

答案： $ \pm 3 $

3. 观察下列方程并回答问题:① $ x^{2}-1 = 0 $;② $ x^{2}+x - 2 = 0 $;③ $ x^{2}+2x - 3 = 0 $;④ $ x^{2}+3x - 4 = 0 $;……
(1)请你根据这些方程的特点写出第 $ n $ 个方程.
(2)选择合适的方法解上面四个方程,并猜想第 2025 个方程的根. 这 $ n $ 个方程的根有什么特点?

答案： 解:
(1)$ x^{2}+(n-1)x-n=0 $.
(2)①$ x_{1}=1,x_{2}=-1 $,②$ x_{1}=1,x_{2}=-2 $,③$ x_{1}=1,x_{2}=-3 $,④$ x_{1}=1,x_{2}=-4 $;……第2025个方程的根为$ x_{1}=1,x_{2}=-2025 $.这n个方程的根的特点:一个根为方程序号数的相反数,另一个根为1.

1. 自学教科书第 15 页至 16 页例 4 前的内容,完成教科书中的有关问题,并标记出你认为重点的内容.
(1) 方程 $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ 的两根为 $x_1$ 和 $x_2$,将方程化为 $x^2 + px + q = 0$ 的形式：$x^{2}-(x_1 + x_2)x+x_1x_2 = 0$（或$x^{2}+(-x_1 - x_2)x+x_1x_2 = 0$）. 这个方程的二次项系数为1,一次项系数 $p = $$-(x_1 + x_2)$,常数项 $q = $$x_1x_2$,则上述方程两个根的和、积与系数的关系分别为 $x_1 + x_2 = $$-p$,$x_1x_2 = $$q$.
(2) 一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$,根据求根公式可得 $x_1 = $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$x_2 = $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,由此可得 $x_1 + x_2 = $$-\frac{b}{a}$,$x_1x_2 = $$\frac{c}{a}$.
因此,方程的两个根 $x_1$,$x_2$ 和系数 $a$,$b$,$c$ 的关系为 $x_1 + x_2 = $$-\frac{b}{a}$,$x_1x_2 = $$\frac{c}{a}$.

答案：
(1)
方程$(x - x_1)(x - x_2)=0$展开得$x^{2}-(x_1 + x_2)x+x_1x_2 = 0$，
二次项系数为$1$，
一次项系数$p=-(x_1 + x_2)$，
常数项$q = x_1x_2$，
两个根的和$x_1 + x_2=-p$（若按$x^{2}+px + q = 0$形式，这里$x_1 + x_2=-p$），两个根的积$x_1x_2 = q$。
故答案为：$x^{2}-(x_1 + x_2)x+x_1x_2 = 0$（或$x^{2}+(-x_1 - x_2)x+x_1x_2 = 0$）；$1$；$-(x_1 + x_2)$；$x_1x_2$；$-p$；$q$。
(2)
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$x_1 + x_2=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}$，
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$。
故答案为：$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$；$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$。