《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 解方程:$(27 - 18x)(21 - 14x) = 567×\frac{3}{4}$.

答案： 1. 提取公因式化简左边：
$(27 - 18x)(21 - 14x) = 9(3 - 2x) \cdot 7(3 - 2x) = 63(3 - 2x)^2$
2. 计算右边：
$567 × \frac{3}{4} = \frac{1701}{4}$
3. 原方程化为：
$63(3 - 2x)^2 = \frac{1701}{4}$
4. 两边同除以63：
$(3 - 2x)^2 = \frac{27}{4}$
5. 开平方：
$3 - 2x = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$
6. 解得：
当$3 - 2x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$时，$x = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{4}$；
当$3 - 2x = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，$x = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{4}$
结论：$x_1 = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{4}$，$x_2 = \frac{6 + 3\sqrt{3}}{4}$

2. 列方程解应用题的一般步骤是什么?

答案： 列方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审：审题，分析题目中已知量和未知量，明确各数量之间的关系。
（2）设：设未知数，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。
（3）列：根据题目中的等量关系，列出方程。
（4）解：解所列的方程。
（5）验：检验所求的解是否符合实际意义。
（6）答：写出答案。

3. 列一元二次方程解决有关面积的应用题时,应如何找等量关系? 如何表示有关的量?

答案： 1. 找等量关系：根据题目中与面积相关的已知条件（如面积不变、面积变化量、面积之间的倍数关系等）确定等量关系。
2. 表示有关的量：
设未知数（通常设所求几何量或关键线段长度为$x$）；
用含未知数的代数式表示与面积计算相关的各边长、底、高、半径等几何量；
根据几何图形面积公式（如矩形面积=长×宽，三角形面积=$\frac{1}{2}×$底×高，圆面积=$\pi r^2$等）列出方程。

探究1:要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形. 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?
分析1:封面的长宽之比是$27:21 = $$9:7$,中央的长方形的长宽之比也应是$9:7$. 若设中央的长方形的长和宽分别是9x cm和$7x\ cm$,则上、下边衬为$\frac{27 - 9x}{2}\ cm$,左、右边衬为$\frac{21 - 7x}{2}\ cm$. 因为四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,则中央矩形的面积是封面面积的四分之三,从而得方程$9x \cdot 7x = \frac{3}{4} × 27 × 21$,或直接根据四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,得方程$27 × 21 - 9x \cdot 7x = \frac{1}{4} × 27 × 21$.
分析2:依据题意知,中央矩形的长宽之比= 封面的长宽之比$= 9:7$,由此可以判定,上、下边衬的宽与左、右边衬的宽之比为$9:7$. 设上、下边衬的宽均为9x cm,则左、右边衬的宽均为7x cm,依题意,得中央矩形的长为$27 - 18x\ cm$,宽为$21 - 14x\ cm$. 因为四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,则中央矩形的面积是封面面积的四分之三,从而得方程$(27 - 18x)(21 - 14x) = \frac{3}{4} × 27 × 21$,或直接根据四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,得方程$27 × 21 - (27 - 18x)(21 - 14x) = \frac{1}{4} × 27 × 21$.

答案： 分析1：
封面的长宽之比是$27:21 = 9:7$，中央的长方形的长宽之比也应是$9:7$。若设中央的长方形的长和宽分别是$9x\ cm$和$7x\ cm$，则上、下边衬为$\frac{27 - 9x}{2}\ cm$，左、右边衬为$\frac{21 - 7x}{2}\ cm$。因为四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三，从而得方程$9x \cdot 7x = \frac{3}{4} × 27 × 21$，或直接根据四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，得方程$27 × 21 - 9x \cdot 7x = \frac{1}{4} × 27 × 21$。
分析2：
依据题意知，中央矩形的长宽之比=封面的长宽之比$= 9:7$，由此可以判定，上、下边衬的宽与左、右边衬的宽之比为$9:7$。设上、下边衬的宽均为$9x\ cm$，则左、右边衬的宽均为$7x\ cm$，依题意，得中央矩形的长为$27 - 18x\ cm$，宽为$21 - 14x\ cm$。因为四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三，从而得方程$(27 - 18x)(21 - 14x) = \frac{3}{4} × 27 × 21$，或直接根据四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，得方程$27 × 21 - (27 - 18x)(21 - 14x) = \frac{1}{4} × 27 × 21$。
解题步骤：
1. 封面面积：$27 × 21 = 567\ cm^2$，中央矩形面积：$\frac{3}{4} × 567 = 425.25\ cm^2$。
2. 由分析1，设中央矩形长$9x\ cm$，宽$7x\ cm$，则$9x \cdot 7x = 425.25$，即$63x^2 = 425.25$，解得$x^2 = 6.75$，$x = \sqrt{6.75} \approx 2.598$。
3. 上、下边衬宽度：$\frac{27 - 9x}{2} \approx \frac{27 - 9 × 2.598}{2} \approx 1.8\ cm$。
4. 左、右边衬宽度：$\frac{21 - 7x}{2} \approx \frac{21 - 7 × 2.598}{2} \approx 1.4\ cm$。
结论：
上、下边衬的宽度约为$1.8\ cm$，左、右边衬的宽度约为$1.4\ cm$。

例 如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向相互垂直),余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为$500m^{2}$,道路的宽为多少? (试着用不同的方法解决)

答案： 道路的宽约为$ 2.1 \, m $（精确到0.1m）