《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 已知二次函数 $ y = x^2 + 4x + 5 $。
1. 求该抛物线的顶点坐标、对称轴。
2. 当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
3. 函数值 $ y $ 有最大值还是最小值？此时 $ x $ 的值为多少？
4. 当 $ -2 \leq x \leq 1 $ 时,求函数的最大值与最小值。
5. 求出经过点 $ (2, 3) $ 和上述二次函数图象顶点的直线解析式。

答案： 1.
对于二次函数$y = x^{2}+4x + 5$，将其化为顶点式：
$y=x^{2}+4x + 5=(x^{2}+4x+4)+1=(x + 2)^{2}+1$。
所以顶点坐标为$(-2,1)$，对称轴为直线$x=-2$。
2.
因为二次函数$y=(x + 2)^{2}+1$中$a = 1\gt0$，图象开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小。
所以当$x\lt - 2$时，$y$随$x$的增大而减小。
3.
由于$a = 1\gt0$，所以函数值$y$有最小值。
当$x=-2$时，$y_{最小}=1$。
4.
因为对称轴$x = - 2$，$-2\in[-2,1]$，当$x=-2$时，$y_{最小}=1$。
分别计算区间端点值：当$x=-2$时，$y = 1$；当$x = 1$时，$y=(1 + 2)^{2}+1=10$。
比较$1$和$10$大小，$1\lt10$，所以当$x = 1$时，$y_{最大}=10$。
5.
已知顶点坐标为$(-2,1)$，设直线解析式为$y=kx+b$，把$(2,3)$，$(-2,1)$代入得：
$\begin{cases}2k + b=3\\-2k + b=1\end{cases}$
两式相减得：$4k = 2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
把$k=\frac{1}{2}$代入$-2k + b=1$得：$-1 + b=1$，解得$b = 2$。
所以直线解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
综上，答案依次为：
1. 顶点坐标$(-2,1)$，对称轴$x=-2$；
2. $x\lt - 2$；
3. 有最小值，$x=-2$；
4. 最大值$10$，最小值$1$；
5. $y=\frac{1}{2}x + 2$。

1. 若抛物线 $ y = 2x^2 - bx + 3 $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $,则 $ b $ 的值为4。

答案： 4

2. 抛物线 $ y = -2x^2 - 4x + 8 $ 的开口向下,对称轴是______直线$x=-1$,顶点坐标是______$(-1,10)$。

答案： 开口向下，直线$x=-1$，$(-1,10)$（按照题目顺序横线处依次填）

3. 若二次函数 $ y = x^2 + bx + 5 $ 配方后为 $ y = (x - 2)^2 + k $,则 $ b, k $ 的值分别为(D)
A.$ 0, 5 $
B.$ 0, 1 $
C.$ -4, 5 $
D.$ -4, 1 $

答案： D

4. 已知 $ (-3, y_1), (-2, y_2), (1, y_3) $ 是抛物线 $ y = -3x^2 - 12x + m $ 上的点,则(B)
A.$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $
B.$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
C.$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $
D.$ y_1 ＜ y_3 ＜ y_2 $

答案： B

5. 如图是二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 图象的一部分,直线 $ x = -1 $ 是对称轴。有下列结论：① $ b - 2a = 0 $；② $ 4a - 2b + c ＜ 0 $；③ $ a - b + c = -9a $；④若 $ (-3, y_1), \left(\frac{3}{2}, y_2\right) $ 是抛物线上两点,则 $ y_1 ＞ y_2 $。其中正确的是(B)

A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④

答案： B

1. 二次函数 $ y = ax^2 + 4x + a $ 的最大值是 3,则 $ a = $-1。

答案： -1

2. 将抛物线 $ y = x^2 - 6x + 5 $ 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度后,得到的抛物线解析式是(B)
A.$ y = (x - 4)^2 - 6 $
B.$ y = (x - 4)^2 - 2 $
C.$ y = (x - 2)^2 - 2 $
D.$ y = (x - 1)^2 - 3 $

答案： B

3. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象如图所示,下列 4 个结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ b ＜ a + c $；③ $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；④ $ b^2 - 4ac ＞ 0 $。其中正确的是(B)

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

答案： B

4. 二次函数 $ y = -x^2 + bx + c $ 的图象如图所示,若点 $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) $ 在此函数的图象上,且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 1 $,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是(B)

A.$ y_1 \leq y_2 $
B.$ y_1 ＜ y_2 $
C.$ y_1 \geq y_2 $
D.$ y_1 ＞ y_2 $

答案： B

1. 已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $,求解下列问题：
写出抛物线的开口方向。
写出抛物线的顶点坐标、对称轴。
写出抛物线的最值。
求出抛物线与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点坐标。
画出函数图象。
当 $ x $ 取何值时,$ y ＞ 0 $？当 $ x $ 取何值时,$ y ＜ 0 $？
当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
怎样由 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 的图象得到 $ y = x^2 $ 的图象？

答案：
解:
(1)
∵a = 1 ＞ 0,
∴开口向上.
(2)
∵y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1,
∴顶点坐标为(2, -1),对称轴为直线x = 2.
(3)
∵a = 1 ＞ 0,
∴当x = 2时,y最小值 = -1.
(4)令y = 0,得x² - 4x + 3 = 0,解得x₁ = 1,x₂ = 3,
∴抛物线和x轴交于点(1,0),(3,0).
令x = 0,得y = 3,
∴抛物线与y轴交于点(0,3).
(5)列表如下:
　　　　　
描点并连线，作图如右图所示.
(6)观察图象知:当x ＜ 1或x ＞ 3时,y ＞ 0;
当1 ＜ x ＜ 3时,y ＜ 0.
(7)当x ＜ 2时,y随x的增大而减小;
当x ＞ 2时,y随x的增大而增大.
(8)将y = x² - 4x + 3的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,即可得到y = x²的图象.