《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

变式1 如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的四条道路,余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为$540m^{2}$,道路的宽为多少?

答案： 设道路的宽为$x$米。
将四条道路平移后，余下草坪可看作一个长为$(32 - 2x)$米，宽为$(20 - 2x)$米的矩形。
根据草坪面积为$540m^2$，得方程：
$(32 - 2x)(20 - 2x) = 540$
展开并整理：
$4x^2 - 104x + 640 = 540$
$4x^2 - 104x + 100 = 0$
$x^2 - 26x + 25 = 0$
因式分解：
$(x - 1)(x - 25) = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = 25$（$x = 25$不合题意，舍去）
答：道路的宽为$1m$。

变式2 如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪. 如果横、纵小路的宽度比为$3:2$,且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,道路的宽为多少?

【归纳总结】我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的特点,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出道路的宽,实际仍按原图的位置修路).

答案： 设横、纵小路的宽度分别为$3x\ m$和$2x\ m$。
矩形地面面积为$32×20 = 640\ m^2$，小路面积为矩形面积的$\frac{1}{4}$，则草坪面积为$640×\left(1 - \frac{1}{4}\right)=480\ m^2$。
将道路平移后，草坪可看作长为$(32 - 4x)\ m$，宽为$(20 - 6x)\ m$的矩形，依题意得：
$(32 - 4x)(20 - 6x)=480$
展开并整理得：
$3x^2 - 34x + 40 = 0$
解得$x_1 = \frac{10}{3}$（不合题意，舍去），$x_2 = 2$。
则横路宽$3x = 6\ m$，纵路宽$2x = 4\ m$。
答：横路宽为$6\ m$，纵路宽为$4\ m$。

1. 如图,宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成,则每个小长方形的面积为(A)

A.$400cm^{2}$
B.$500cm^{2}$
C.$600cm^{2}$
D.$4000cm^{2}$

答案： A

2. 如图,公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花,原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为$18m^{2}$,求原正方形空地的边长. 设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为(C)

A.$(x + 1)(x + 2) = 18$
B.$x^{2}-3x + 16 = 0$
C.$(x - 1)(x - 2) = 18$
D.$x^{2}+3x + 16 = 0$

答案： C

3. 如图,在一块长为22 m,宽为17 m的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为$300m^{2}$. 若设道路宽为x m,则根据题意可列方程为$(22 - x)(17 - x) = 300$.

答案： $(22 - x)(17 - x) = 300$

1. 在一幅长60 cm,宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图. 如果要使整幅挂图的面积是$2816cm^{2}$,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是(A)

A.$(60 + 2x)(40 + 2x) = 2816$
B.$(60 + x)(40 + x) = 2816$
C.$(60 + 2x)(40 + x) = 2816$
D.$(60 + x)(40 + 2x) = 2816$

答案： A

2. 如图,一张宽为x cm的长方形铁皮,四个角各剪去一个边长为4 cm的小正方形,再折起来做成一个无盖的小盒子. 已知铁皮的长是宽的2倍,做成的小盒子的容积是$1536cm^{3}$,求长方形铁皮的长与宽.

答案： 宽为20 cm,长为40 cm