《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

6. 右图可以看作由一个等腰直角三角形旋转若干次生成的，则每次旋转的度数是(C)
A.$ 90° $
B.$ 60° $
C.$ 45° $
D.$ 30° $

答案： C

自学教科书第 60 页“探究”,然后回答下列问题：
1. 如图,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 按逆时针方向旋转到 $ DEC $ 的位置,度量 $ \angle ACD $ 与 $ \angle BCE $ 的度数,线段 $ AC $ 与 $ DC $,$ BC $ 与 $ EC $ 的长度。你发现了什么？

$\angle ACD = \angle BCE$，$AC = DC$，$BC = EC$。
发现：对应线段相等，$\angle ACD$和$\angle BCE$都是旋转角且相等。
2. 如图,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转到 $ \triangle A'B'C' $ 的位置,度量 $ \angle AOA' $,$ \angle BOB' $,$ \angle COC' $ 的度数,线段 $ AO $ 与 $ A'O $,$ BO $ 与 $ B'O $,$ CO $ 与 $ C'O $ 的长度。你发现了什么？

$\angle AOA'=\angle BOB'=\angle COC'$，$AO = A'O$，$BO = B'O$，$CO = C'O$。
发现：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
3. $ \triangle ABC $ 经过旋转得到 $ \triangle A'B'C' $,所以 $ \triangle ABC $$\cong$$ \triangle A'B'C' $。
4. 旋转的基本性质。
(1) 旋转不改变图形的形状和大小。
(2) 图形上的每一点都绕旋转中心沿同一方向转动了相同的角度。
(3) 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角。
(4) 对应点到旋转中心的距离相等。
(5) 图形的旋转是由旋转中心和旋转角决定的。

答案： 1.
$\angle ACD = \angle BCE$，$AC = DC$，$BC = EC$。
发现：对应线段相等，$\angle ACD$和$\angle BCE$都是旋转角且相等。
2.
$\angle AOA'=\angle BOB'=\angle COC'$，$AO = A'O$，$BO = B'O$，$CO = C'O$。
发现：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
3.
$\triangle ABC$经过旋转得到$\triangle A'B'C'$，所以$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
4.
(1) 形状；大小。
(2) 同一；相同。
(4) 相等。
(5) 旋转中心；旋转角。

例 1 如图,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 旋转得到 $ \triangle EBF $,在这个旋转过程中：
(1) 旋转中心是哪个点？旋转角是哪个角？
(2) 经过旋转,点 $ A $,$ C $ 分别移动到什么位置？
(3)$ BC $ 与 $ BF $ 的长有什么关系？
(4) 若 $ \angle A = 90° $,则 $ \angle E $ 等于多少度？
(5)$ \angle ABE $ 与 $ \angle CBF $ 的大小有何关系？

答案：
(1) 旋转中心是点 $B$，旋转角是 $\angle ABE$（或 $\angle CBF$）。
(2) 点 $A$ 移动到点 $E$ 的位置，点 $C$ 移动到点 $F$ 的位置。
(3) $BC = BF$。
(4) $\angle E = 90°$。
(5) $\angle ABE = \angle CBF$。

例 2 如图,四边形 $ ABCD $ 是边长为 1 的正方形,且 $ DE = \frac{1}{4} $,$ \triangle ABF $ 是 $ \triangle ADE $ 的旋转图形。
(1) 旋转中心是哪一点？
(2) 旋转了多少度？
(3)$ AF $ 的长度是多少？
(4) 如果连接 $ EF $,那么 $ \triangle AEF $ 是怎样的三角形？

答案：
(1) 旋转中心是 $A$ 点。
(2) 顺时针旋转 $90°$。
(3) 由于 $\triangle ADE$ 旋转 $90°$ 后得到 $\triangle ABF$，
所以 $AF = AE$，且 $AD = AB = 1$，
因为，$DE =\frac{1}{4}$，
在直角三角形$\triangle ADE$中，
$AE =\sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}$，
所以$AF = \frac{\sqrt{17}}{4}$。
(4) 由于 $\triangle ABF$ 是 $\triangle ADE$ 旋转后的图形，
所以$\triangle ABF \cong \triangle ADE$，
所以$\angle BAF = \angle DAE$，
因为$\angle BAF + \angle BAE = \angle DAE + \angle BAE$，
即$\angle EAF = \angle BAD = 90°$，
又因为$AF = AE$，
所以$\triangle AEF$是等腰直角三角形。