《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？

答案： 1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
2. 三边成比例的两个三角形相似；
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
4. 两角分别相等的两个三角形相似。

2. 如图,在△ABC中,点D在AB上,如果$AC^2 = AD·AB,$那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由.

答案： △ACD与△ABC相似。理由如下：
∵AC² = AD·AB，
∴$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$。
又
∵∠A = ∠A（公共角），
∴△ACD∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

3. 如图,在△ABC中,点D在AB上,如果∠ACD = ∠B,那么△ACD与△ABC相似吗？

答案： △ACD与△ABC相似。
证明：在△ACD和△ABC中，
∵∠ACD=∠B（已知），
∠A=∠A（公共角），
∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。

4. 教科书第35页.
三角形相似的判定方法3：
两角分别对应相等的两个三角形相似.

∠A = ∠A',∠B = ∠B'
↓
△ABC ∽ △A'B'C'

答案： 根据人教版数学九年级全一册27.2.1相似三角形的判定(第3课时)的内容，三角形相似的判定方法3为：
两角分别对应相等的两个三角形相似。
故答案为：两角分别对应相等。

例1 如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P. 求证：PA·PB = PC·PD.
分析：要证PA·PB = PC·PD,需要证$\frac{PA}{PD}= \frac{PC}{PB}$,则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似. 由于所给的条件是圆中的两条相交弦,故需要先作辅助线构造三角形,然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等,再由三角形相似的判定方法3可得两三角形相似.

例2 如图,在矩形ABCD中,E为BC上一点,DF ⊥ AE于点F. 若AB = 4,AD = 5,AE = 6,求DF的长.

答案： 例1:
证明：
连接 $AC$ 和 $BD$。
由同弧所对的圆周角相等，得 $\angle BAC = \angle BDC$，$\angle ACD = \angle ABD$。
在 $\triangle PAC$ 和 $\triangle PDB$ 中，
$\angle APC = \angle BPD$（对顶角相等），
$\angle PAC = \angle PDB$，
$\angle PCA = \angle PBD$。
所以 $\triangle PAC \sim \triangle PDB$。
因此，$\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$。
所以 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$。
例2:
解：
由题意，$AB = 4$，$AD = 5$，$AE = 6$。
因为 $DF \perp AE$，
在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle AEB$ 中，
$\angle AFD = \angle ABE = 90°$，
$\angle DAF = \angle EAB$。
所以 $\triangle ADF \sim \triangle AEB$。
因此，$\frac{DF}{AB} = \frac{AD}{AE}$。
代入已知值，$\frac{DF}{4} = \frac{5}{6}$。
解得 $DF = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$。
所以 $DF$ 的长为 $\frac{10}{3}$。