《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 1 已知方程 $5x^2 + kx - 6 = 0$ 的一个根为 2,求它的另一个根及 $k$ 的值.
解：设方程的另一个根是 $x_1$,那么 $2x_1 = -\frac{6}{5}$.
$\therefore x_1 = $$-\frac{3}{5}$.
又 $\because x_1 + 2 = -\frac{k}{5}$,
$\therefore k = $$-7$.
想一想,还有没有别的解法？

答案： 解：
设方程的另一个根为$x_1$，
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$2x_1 = -\frac{6}{5} \quad (根据 \, x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a})$，
$\therefore x_1 = -\frac{3}{5}$，
又因为根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$2 + x_1 = -\frac{k}{5} \quad (根据 \, x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})$，
将$x_1 = -\frac{3}{5}$代入上式，得：
$2 - \frac{3}{5} = -\frac{k}{5}$，
$\therefore k = -7$，
另一种解法：
将$x = 2$代入原方程$5x^2 + kx - 6 = 0$，得：
$5 × 2^2 + 2k - 6 = 0$，
$20 + 2k - 6 = 0$，
$2k = -14$，
$\therefore k = -7$，
再将$k = -7$代入原方程，得到：
$5x^2 - 7x - 6 = 0$，
因式分解得：
$(5x + 3)(x - 2) = 0$，
解得：
$x_1 = -\frac{3}{5}, \quad x_2 = 2$，
由于$x = 2$是已知根，所以另一个根为$x = -\frac{3}{5}$。
故答案为：$x_1 = -\frac{3}{5}$；$k = -7$。

例 2 利用根与系数的关系,求一元二次方程 $2x^2 + 3x - 1 = 0$ 的两个根的：(1) 平方和；(2) 倒数和.
解：设方程的两个根分别为 $x_1$,$x_2$,那么 $x_1 + x_2 = $$-\frac{3}{2}$,$x_1x_2 = $$-\frac{1}{2}$.
(1) $\because (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2$$x_1x_2$$+ x_2^2$,
$\therefore x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2$$x_1x_2$$=$$\frac{13}{4}$.
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{($$x_1 + x_2$$)}{x_1x_2} = $$3$.
注意：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式,再整体代入.

答案： 设方程的两个根分别为 $x_1$，$x_2$，那么根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}, \quad x_1x_2 = -\frac{1}{2}$
(1) 平方和：
$\because (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
$\therefore x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 2 × \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$
(2) 倒数和：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = 3$
故答案为：
$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$；$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$
(1) $x_1x_2$；$x_1x_2$；$\frac{13}{4}$
(2) $x_1 + x_2$；$3$

1. 下列一元二次方程两实数根的和为 -4 的是(D)
A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$x^2 - 4x + 4 = 0$
C.$x^2 + 4x + 10 = 0$
D.$x^2 + 4x - 5 = 0$

答案： D

2. 方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的两个根分别为 $x_1$,$x_2$,则 $x_1 + x_2 - x_1x_2$ 的值为2.

答案： 【解析】：对于方程 $x^2 - x - 1 = 0$，根据根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = 1$，$x_1x_2 = -1$。则 $x_1 + x_2 - x_1x_2 = 1 - (-1) = 2$。
【答案】：2

3. 若 $x_1$,$x_2$ 满足 $x_1 + x_2 = 7$,$x_1x_2 = 8$,则下列方程中以 $x_1$,$x_2$ 为根的一元二次方程是(B)
A.$x^2 + 7x + 8 = 0$
B.$x^2 - 7x + 8 = 0$
C.$x^2 - 7x - 8 = 0$
D.$x^2 + 7x - 8 = 0$

答案： B

1. 已知方程 $3x^2 - 19x + m = 0$ 的一个根是 1,求它的另一个根及 $m$ 的值.

答案： $m=16,x_{2}=\frac {16}{3}$