《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

变式 2 将抛物线 $ y = 3x^2 - 1 $ 向上平移$\frac{11}{2}$个单位,得到抛物线 $ y = 3x^2 + \frac{9}{2} $。

答案： 上；$\frac{11}{2}$

1. 把抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 向下平移 2 个单位,可以得到抛物线$y = \frac{1}{2}x^2 - 2$；再向上平移 5 个单位,可以得到抛物线$y = \frac{1}{2}x^2 + 3$。

答案： 第一个空填 $y = \frac{1}{2}x^2 - 2$，第二个空填 $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$（按照题目要求，以填空形式直接给出答案，不包含选项）。

2. 关于二次函数 $ y = -2x^2 + 3 $,下列说法中正确的是(B)
A.图象的开口向上
B.当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
C.图象的顶点坐标是 $ (-2, 3) $
D.图象的对称轴是直线 $ x = 3 $

答案： B

3. 已知抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $ 上有两点 $ (x_1, y_1) $,$ (x_2, y_2) $,且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系为(A)
A.$ y_1 ＞ y_2 $
B.$ y_1 = y_2 $
C.$ y_1 ＜ y_2 $
D.无法确定
变式 1 若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $,其他条件不变,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系为$y_1 ＞ y_2$。
变式 2 若 $ x_1 ＜ x_2 $,其他条件不变,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系为无法确定。

答案： 【解析】：对于抛物线 $y = 2x^2 - 1$，其开口向上（因为 $a = 2 ＞ 0$），对称轴为 $x = 0$。 当 $x ＜ 0$ 时，函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小（对称轴左侧，$x$ 增大时 $y$ 减小）。 已知 $x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，因此 $y_1 ＞ y_2$。 【答案】：C（原选项顺序应为原题顺序的误写，正确对应关系为 $y_1 ＞ y_2$ 对应选项 C（原题选项实际顺序需核对，按解析结论应为选 $y_1 ＞ y_2$ 的选项） ，根据题目选项排列实际应选 C 的对立面（重新核对：题目选项A为$y_1 ＞ y_2$，故正确答案为A的描述对应，但解析结论为$y_1 ＞ y_2$，应选A）...（按最终解析结论选）（修正）【答案】：A
@@$y_1 ＞ y_2$
@@y1＜y2

4. 在同一直角坐标系中,$ y = ax^2 + b $ 与 $ y = ax + b (a \neq 0, b \neq 0) $ 的图象的大致位置是(C)

答案： C

1. 抛物线 $ y = 4x^2 - 1 $ 与 $ y $ 轴的交点坐标为$(0,-1)$,与 $ x $ 轴的交点坐标为$\left( \dfrac{1}{2},0 \right)$,$\left( -\dfrac{1}{2},0 \right)$。

答案： $(0,-1)$ $\left( \dfrac{1}{2},0 \right)$,$\left( -\dfrac{1}{2},0 \right)$

2. 如图,两条抛物线 $ y_1 = -\frac{1}{2}x^2 + 1 $,$ y_2 = -\frac{1}{2}x^2 - 1 $ 与分别经过点 $ (-2, 0) $,$ (2, 0) $,且平行于 $ y $ 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为8。

答案： 8

3. 已知抛物线的对称轴是 $ y $ 轴,顶点坐标是 $ (0, 2) $,且经过点 $ (1, 3) $,则此抛物线的解析式为$y=x^{2}+2$。

答案： $y=x^{2}+2$

4. 若抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与 $ y = 2x^2 $ 的形状相同,开口方向相反,且其顶点坐标是 $ (0, -3) $,则该抛物线的解析式是$y=-2x^{2}-3$。

答案： $y=-2x^{2}-3$

1. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $,过点 $ A $ 与 $ x $ 轴平行的直线交抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 于点 $ B $,$ C $,求 $ BC $ 的长度。

答案： 6

2. 如图,抛物线 $ y = x^2 - 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,点 $ P $ 是抛物线上一点,且 $ S_{\triangle PAB} = 4 $。求点 $ P $ 的坐标。

答案： $(\sqrt{6},2)$,$(-\sqrt{6},2)$,$(\sqrt{2},-2)$或$(-\sqrt{2},-2)$