《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例4 利润问题:
某百货商店服装柜台在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.市场调查发现:如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?

答案： 设每件童装应降价$x$元。
每件盈利为$(40 - x)$元，因每降价4元多售出8件，故每降价1元多售出$8÷4 = 2$件，销售量为$(20 + 2x)$件。
根据利润=每件盈利×销售量，得方程：$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$。
展开并整理：
$800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$
$-2x^2 + 60x - 400 = 0$
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解：$(x - 10)(x - 20) = 0$，解得$x_1 = 10$，$x_2 = 20$。
检验：
当$x = 10$时，每件盈利$40 - 10 = 30$元，销售量$20 + 2×10 = 40$件，利润$30×40 = 1200$元；
当$x = 20$时，每件盈利$40 - 20 = 20$元，销售量$20 + 2×20 = 60$件，利润$20×60 = 1200$元。
均符合题意。
答：每件童装应降价10元或20元。

如图,有一块长5m、宽4m的地毯,为了美观,设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分).已知配色条纹的宽度相同,其所占面积是整个地毯面积的$\frac{17}{80}$.
(1) 求配色条纹的宽度;
(2) 如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价.

答案：
(1) 设配色条纹的宽度为$x$米。
地毯总面积为$5×4=20\,m^2$，条纹面积为$20×\frac{17}{80}=\frac{17}{4}\,m^2$。
两横条纹面积：$2×5x=10x$，两纵条纹面积：$2×4x=8x$，交叉部分面积：$4x^2$。
由条纹总面积得：$10x + 8x - 4x^2=\frac{17}{4}$，整理得$16x^2 - 72x + 17=0$。
解得$x=\frac{72\pm\sqrt{(-72)^2-4×16×17}}{2×16}=\frac{72\pm64}{32}$，即$x_1=\frac{17}{4}$（舍去，超过地毯宽），$x_2=\frac{1}{4}=0.25$。
配色条纹宽度为$0.25\,m$。
(2) 条纹面积$\frac{17}{4}\,m^2$，造价$\frac{17}{4}×200=850$元；
其余面积$20-\frac{17}{4}=\frac{63}{4}\,m^2$，造价$\frac{63}{4}×100=1575$元。
总造价$850+1575=2425$元。
(1) $0.25\,m$；
(2) $2425$元。

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90°$,$AB = 5$cm,$BC = 7$cm.点$P从点A开始沿AB边向点B$以1cm/s的速度匀速运动,同时点$Q从点B开始沿BC边向点C$以2cm/s的速度匀速运动.当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为$x$s($x ＞ 0$).
(1) 1s后,$\triangle PBQ的面积为4$cm^2.
(2) 2s,$PQ$的长度为5cm.
(3) $\triangle PBQ$的面积能否为7cm^2?请说明理由.

不能为7cm²,理由略.

答案： 1.
(1)1;
(2)2;
(3)不能为7cm²,理由略.

2. 某种流感病毒,有一人患了这种流感,在每轮传染中一人将平均传给$x$人.
(1) 第一轮传染后患病的人数为(1+x)人.(用含$x$的代数式表示)
(2) 在进入第二轮传染之前,有两位患者被及时隔离并治愈,问:第二轮传染后是否会出现共21人患病的情况?说明理由.
不会,理由略.

答案： 2.
(1)(1+x);
(2)不会,理由略.