《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

5. 什么叫配方法？配方的目的是什么？

答案： 配方法：把一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
配方的目的：用配方法可将二次函数或二次方程进行变形，对于二次函数，可将其化为顶点式，从而方便地得出函数的顶点坐标、对称轴等性质；对于二次方程，配方后可用来求解方程的根，也可用于求代数式的最值等。

6. 配方的关键是什么？

答案： 配方的关键是在二次项系数为1的情况下，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边配成一个完全平方式。

7. 自学教科书第7页例1,请你总结用配方法解一元二次方程的一般步骤。

答案： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1；
2. 移项：把常数项移到方程右边；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；
4. 开平方：如果方程右边是非负数，就可以两边开平方，得到两个一元一次方程；
5. 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的解。

1. 你会解一元二次方程$x^{2}+6x + 4 = 0$吗？用什么方法？会，用配方法。
2. 能否将方程$x^{2}+6x + 4 = 0$转化为可以直接降次的形式再求解呢？能。

(1)用配方法解一元二次方程的步骤：
①移项：把常数项移到方程右边。
②配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
③变形：方程左边分解因式,右边合并同类项。
④开方：根据平方根意义,方程两边开平方。
⑤求解：解一元一次方程。
⑥定解：写出原方程的解。
(2)上面我们把方程$x^{2}+6x + 4 = 0$变形为$(x + 3)^{2}= 5$,它的左边是一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负数。像这样,就能应用直接开平方的方法求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。当二次项系数为1时,配方的关键是在方程两边同时加一次项系数一半的平方。

答案： 1. 会，用配方法。
2. 能。
(1)①移项：把常数项移到方程右边
(2)完全平方，非负，一次项系数一半

例1 解下列方程：
(1)$x^{2}-8x + 1 = 0$；(2)$2x^{2}+1 = 3x$；
(3)$3x^{2}-6x + 4 = 0$。

答案：
(1)移项，得$x^{2}-8x=-1$，配方，得$x^{2}-8x+16=-1+16$，即$(x-4)^{2}=15$，开平方，得$x-4=\pm\sqrt{15}$，解得$x_{1}=4+\sqrt{15}$，$x_{2}=4-\sqrt{15}$。
(2)移项，得$2x^{2}-3x=-1$，二次项系数化为1，得$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$，配方，得$x^{2}-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^{2}=-\frac{1}{2}+(\frac{3}{4})^{2}$，即$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{16}$，开平方，得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{1}{4}$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。
(3)二次项系数化为1，得$x^{2}-2x+\frac{4}{3}=0$，移项，得$x^{2}-2x=-\frac{4}{3}$，配方，得$x^{2}-2x+1=-\frac{4}{3}+1$，即$(x-1)^{2}=-\frac{1}{3}$，因为$-\frac{1}{3}＜0$，所以原方程无实数根。

变式1 解下列方程：
(1)$x^{2}+4x - 9 = 2x - 11$；
(2)$(x + 4)x = 8x + 12$。

答案：
(1)
$x^{2}+4x - 9 = 2x - 11$
移项、合并同类项：$x^{2}+2x + 2 = 0$
配方：$x^{2}+2x + 1 = -1$，即$(x + 1)^{2} = -1$
$\because p = -1 ＜ 0$，$\therefore$方程无实数根。
(2)
$(x + 4)x = 8x + 12$
去括号、移项、合并同类项：$x^{2}-4x - 12 = 0$
配方：$x^{2}-4x + 4 = 16$，即$(x - 2)^{2} = 16$
开平方：$x - 2 = \pm 4$
解得：$x_{1} = -2$，$x_{2} = 6$。