《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例1 根据下列条件,判断$\triangle A B C与\triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$是否相似,并说明理由.
(1)$\angle A = 120 ^ { \circ }$,$A B = 7 \mathrm { cm }$,$A C = 14 \mathrm { cm }$,$\angle A ^ { \prime } = 120 ^ { \circ }$,$A ^ { \prime } B ^ { \prime } = 3 \mathrm { cm }$,$A ^ { \prime } C ^ { \prime } = 6 \mathrm { cm }$；
(2)$A B = 4 \mathrm { cm }$,$B C = 6 \mathrm { cm }$,$A C = 8 \mathrm { cm }$,$A ^ { \prime } B ^ { \prime } = 12 \mathrm { cm }$,$B ^ { \prime } C ^ { \prime } = 18 \mathrm { cm }$,$A ^ { \prime } C ^ { \prime } = 21 \mathrm { cm }$.

答案：
(1)
在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，
已知$\angle A = 120^{\circ}$，$\angle A' = 120^{\circ}$，所以$\angle A=\angle A'$。
又因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{7}{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$。
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。
(2)
已知$AB = 4cm$，$BC = 6cm$，$AC = 8cm$，$A'B' = 12cm$，$B'C' = 18cm$，$A'C' = 21cm$。
则$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{21}$。
因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\neq\frac{AC}{A'C'}$，三边不对应成比例，所以$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$不相似。
综上：
(1)$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$；
(2)$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$不相似。

例2 如图,$D$,$E分别是\triangle A B C的边AB$,$AC$上的点.已知$A B = 9$,$B D = 7$,$A C = 6$,$C E = 3$.求证：$\triangle A D E \backsim \triangle A C B$.

答案： 证明：
∵AB=9，BD=7，
∴AD=AB-BD=9-7=2。
∵AC=6，CE=3，
∴AE=AC-CE=6-3=3。
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。
又
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

1. 有甲、乙两个三角形木框,甲木框的三边长分别为$1$,$\sqrt { 2 }$,$\sqrt { 5 }$,乙木框的三边长分别为$\sqrt { 5 }$,$\sqrt { 10 }$,$5$,则甲、乙两个三角形木框(A)
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断

答案： A

2. 如图,在正方形$ABCD$中,$P是BC$上的点,且$B C = 4 P C$,$Q是CD$的中点. 求证：$\triangle A D Q \backsim \triangle Q C P$.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°。
设PC=x，
∵BC=4PC，
∴BC=4x，AD=CD=4x。
∵Q是CD的中点，
∴DQ=QC=2x。
在△ADQ和△QCP中，
∠D=∠C=90°，
AD/QC=4x/2x=2，
DQ/CP=2x/x=2，
∴AD/QC=DQ/CP，
∴△ADQ∽△QCP（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

3. 如图,$O是\triangle A B C$内的一点,$D$,$E$,$F分别是OA$,$OB$,$OC$的中点,试猜想$\triangle A B C与\triangle D E F$的关系,并证明你的结论.

答案： $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，证明如下：
∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴DE是$\triangle OAB$的中位线，EF是$\triangle OBC$的中位线，DF是$\triangle OAC$的中位线。
∴$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
$\angle ODE = \angle OAB$，$\angle OED = \angle OBA$，
$\angle OEF = \angle OBC$，$\angle OFE = \angle OCB$，
$\angle OFD = \angle OCA$，$\angle ODF = \angle OAC$。
∵$\angle ODE + \angle ODF = \angle OAB + \angle OAC$，
即$\angle EDF = \angle BAC$。
同理可得$\angle DEF = \angle ABC$，$\angle DFE = \angle ACB$。
∵$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，且$\angle EDF = \angle BAC$，$\angle DEF = \angle ABC$，$\angle DFE = \angle ACB$，
∴$\triangle ABC \sim \triangle DEF$（三边成比例且对应角相等的两个三角形相似）。

1. 如图,下列条件中能判定$\triangle D A C \backsim \triangle A B C$的是(A)


A.$A C ^ { 2 } = B C \cdot C D$
B.$C D ^ { 2 } = A D \cdot D B$
C.$\frac { A C } { C D } = \frac { A B } { B C }$
D.$\frac { C D } { D A } = \frac { B C } { A C }$

答案： A