《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图,某小区规划在一个长30 m,宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草. 要使每一块草地的面积都为$78m^{2}$,那么通道的宽应设计成多少米? 设通道的宽为x m,由题意列得方程$(30-2x)(20-x)=6×78$.

答案： $(30-2x)(20-x)=6×78$

2. 小林准备进行如下操作:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,将每一段铁丝各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$58cm^{2}$,小林该怎样剪?
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于$48cm^{2}$.”他的说法正确吗? 请说明理由.

答案：
(1)较短的一段为12 cm,较长的一段为28 cm;
(2)小峰的说法正确,理由略.

1. 复习教科书第2页至第3页的内容,回答下列问题：
(1) 什么叫一元二次方程?
(2) 一元二次方程的一般形式是什么?
(3) 什么叫一元二次方程的根?

答案：
(1) 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
(2) 一元二次方程的一般形式是$ax^{2} + bx + c = 0(a\neq 0)$，其中$a$，$b$，$c$分别是二次项系数，一次项系数和常数项。
(3) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。

2. 复习教科书第5页至第14页的内容,回答下列问题：
(1) 一元二次方程的解法有哪几种? 各种解法的步骤分别是什么?
(2) 用公式法解一元二次方程时,为什么要求 $ b^{2}-4ac \geqslant 0 $? 当 $ b^{2}-4ac＜0 $ 时,一元二次方程解的情况怎样?

答案：
(1) 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
步骤：
直接开平方法：方程化为$x^2 = p$（$p \geq 0$）或$(x + m)^2 = p$（$p \geq 0$），两边开平方得$x = \pm\sqrt{p}$或$x + m = \pm\sqrt{p}$，求解。
配方法：移项，二次项系数化为1，两边加一次项系数一半的平方，化为$(x + m)^2 = p$，开平方求解。
公式法：化为一般式$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），计算$b^2 - 4ac$，若$\geq 0$，代入$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$求解。
因式分解法：化为$(mx + n)(px + q) = 0$，令各因式为0，求解。
(2) 因为负数没有平方根，所以$b^2 - 4ac \geq 0$时方程有实数根；当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程无实数根。

3. 强化记忆.
(1) 正确理解一元二次方程的概念. 一元二次方程需同时满足以下三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③含未知数项的最高次数是2.
(2) 任何关于 $ x $ 的一元二次方程都可以化为 $ ax^{2}+bx+c= 0(a \neq 0) $ 的形式,其中 $ a \neq 0 $ 是定义的一部分,不可漏掉,否则就不是一元二次方程.
(3) 一元二次方程解法的选择顺序：先特殊,后一般,即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,若不能,再考虑用公式法和配方法.

答案： 答题（以下为答题卡内容）
(1) 一元二次方程需满足三个条件：
① 整式方程；
② 未知数个数为1；
③ 未知数最高次数为2。
(2) 一元二次方程一般形式：$ax^{2} + bx + c = 0$（$a \neq 0$）。
(3) 一元二次方程解法选择顺序：
首先考虑直接开平方法；
其次考虑因式分解法；
若上述方法不可行，则考虑公式法或配方法。