《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 如图,以 $40m/s$ 的速度将小球沿与地面成 $30^{\circ}$ 角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 $h$ (单位：$m$) 与飞行时间 $t$ (单位：$s$) 之间具有关系：$h = 20t - 5t^{2}$.

(1) 球的飞行高度能否达到 $15m$？如果能,需要飞行多长时间？
思考：为什么在两个时间球的高度都为 $15m$？
将 $h = 15$ 代入 $h = 20t - 5t^{2}$，得：
$15 = 20t - 5t^{2}$，
$5t^{2} - 20t + 15 = 0$，
$t^{2} - 4t + 3 = 0$，
$(t - 1)(t - 3) = 0$，
解得 $t_{1} = 1$，$t_{2} = 3$。
答：球的飞行高度能达到 $15m$，需要飞行 $1s$ 或 $3s$。
思考：因为球沿抛物线飞行，在上升和下降阶段都会达到同一高度，所以在两个时间球的高度都为 $15m$。
(2) 球的飞行高度能否达到 $20m$？如果能,需要飞行多长时间？
思考：为什么只在一个时间球的高度为 $20m$？
将 $h = 20$ 代入 $h = 20t - 5t^{2}$，得：
$20 = 20t - 5t^{2}$，
$5t^{2} - 20t + 20 = 0$，
$t^{2} - 4t + 4 = 0$，
$(t - 2)^{2} = 0$，
解得 $t_{1} = t_{2} = 2$。
答：球的飞行高度能达到 $20m$，需要飞行 $2s$。
思考：球在达到最高点时只有唯一的时间点，所以只在一个时间球的高度为 $20m$。
(3) 球的飞行高度能否达到 $20.5m$？为什么？
将 $h = 20.5$ 代入 $h = 20t - 5t^{2}$，得：
$20.5 = 20t - 5t^{2}$，
$5t^{2} - 20t + 20.5 = 0$，
$\Delta = (-20)^{2} - 4 × 5 × 20.5 = 400 - 410 = -10 ＜ 0$，
方程无实数解。
答：球的飞行高度不能达到 $20.5m$。
(4) 球从飞出到落地要经过多长时间？
思考：为什么有两个时间球的高度都为 $0m$？
将 $h = 0$ 代入 $h = 20t - 5t^{2}$，得：
$0 = 20t - 5t^{2}$，
$5t^{2} - 20t = 0$，
$t(t - 4) = 0$，
解得 $t_{1} = 0$，$t_{2} = 4$。
答：球从飞出到落地要经过 $4s$。
思考：球在飞出时和落地时高度都为 $0m$，所以有两个时间球的高度都为 $0m$。

答案：
(1) 将 $h = 15$ 代入 $h = 20t - 5t^{2}$，得：
$15 = 20t - 5t^{2}$，
$5t^{2} - 20t + 15 = 0$，
$t^{2} - 4t + 3 = 0$，
$(t - 1)(t - 3) = 0$，
解得 $t_{1} = 1$，$t_{2} = 3$。
答：球的飞行高度能达到 $15m$，需要飞行 $1s$ 或 $3s$。
思考：因为球沿抛物线飞行，在上升和下降阶段都会达到同一高度，所以在两个时间球的高度都为 $15m$。
(2) 将 $h = 20$ 代入 $h = 20t - 5t^{2}$，得：
$20 = 20t - 5t^{2}$，
$5t^{2} - 20t + 20 = 0$，
$t^{2} - 4t + 4 = 0$，
$(t - 2)^{2} = 0$，
解得 $t_{1} = t_{2} = 2$。
答：球的飞行高度能达到 $20m$，需要飞行 $2s$。
思考：球在达到最高点时只有唯一的时间点，所以只在一个时间球的高度为 $20m$。
(3) 将 $h = 20.5$ 代入 $h = 20t - 5t^{2}$，得：
$20.5 = 20t - 5t^{2}$，
$5t^{2} - 20t + 20.5 = 0$，
$\Delta = (-20)^{2} - 4 × 5 × 20.5 = 400 - 410 = -10 ＜ 0$，
方程无实数解。
答：球的飞行高度不能达到 $20.5m$。
(4) 将 $h = 0$ 代入 $h = 20t - 5t^{2}$，得：
$0 = 20t - 5t^{2}$，
$5t^{2} - 20t = 0$，
$t(t - 4) = 0$，
解得 $t_{1} = 0$，$t_{2} = 4$。
答：球从飞出到落地要经过 $4s$。
思考：球在飞出时和落地时高度都为 $0m$，所以有两个时间球的高度都为 $0m$。

3. 二次函数的图象与 $x$ 轴的位置关系有三种：相交于两点,相交于一点,没有公共点. 这对应着一元二次方程的根的三种情况：有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根.

答案： 相交于两点,相交于一点,没有公共点；有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根

如图,下列二次函数的图象与 $x$ 轴有公共点吗？如果有,公共点的坐标是多少？当 $x$ 取公共点的横坐标时,函数值 $y$ 是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？

(1) $y = x^{2}+x - 2$；
(2) $y = x^{2}-6x + 9$；
(3) $y = x^{2}-x + 1$.
【归纳总结】
二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$ 与一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0)$ 的关系：
(1) 二次函数的图象与 $x$ 轴有两个公共点 $\Leftrightarrow$ 一元二次方程有两个不相等的实数根,此时判别式 $\Delta＞0$.
(2) 二次函数的图象与 $x$ 轴只有一个公共点 $\Leftrightarrow$ 一元二次方程有两个相等的实数根,此时判别式 $\Delta = 0$.
(3) 二次函数的图象与 $x$ 轴没有公共点 $\Leftrightarrow$ 一元二次方程没有实数根,此时判别式 $\Delta＜0$.
(4) 一元二次方程的根,即为二次函数的图象与 $x$ 轴的交点的横坐标.

答案：
(1) 有公共点，坐标为 $(1, 0)$，$(-2, 0)$；当 $x = 1$ 或 $x = -2$ 时，$y = 0$；方程的根为 $x_1 = 1$，$x_2 = -2$。
(2) 有公共点，坐标为 $(3, 0)$；当 $x = 3$ 时，$y = 0$；方程的根为 $x_1 = x_2 = 3$。
(3) 没有公共点；方程没有实数根。