《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

自学教科书第93页的内容,然后回答问题：
1. 一个三角形有1个外接圆,而一个圆有无数个内接三角形.
2. 探究三角形的外心与三角形的位置关系：(自己动手画图归纳)
三角形是锐角三角形⇔三角形外心在三角形的内部；
三角形是直角三角形⇔三角形外心是直角三角形的斜边中点；
三角形是钝角三角形⇔三角形外心在三角形的外部.
3. 无论哪种三角形,它的外心都是三角形任意两边的垂直平分线的交点,它的外心到三角形各顶点的距离相等,只要三角形确定,那么它的外心与外接圆的半径就确定了.
4. 下列命题正确的是①.(填序号)
① 任何一个三角形有且只有一个外接圆；
② 任何一个圆有且只有一个内接三角形；
③ 等腰三角形的外心一定在它的内部.

答案： 1. 1，无数；
2. 内，斜边中点，外；
3. 相等；
4. ①。

例 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,若AC = 5 cm,BC = 12 cm,求△ABC的外接圆的半径.

注意：解答问题时要思考全面,克服片面性思维,加强图形意识的培养.

答案： 在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$AC = 5 cm$，$BC = 12 cm$。
根据勾股定理，斜边$AB$的长度为：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 cm$，
由于直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，所以：
$外接圆半径 = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 cm$。
故答案为：$6.5 cm$。

2. 用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是(D)
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆内

答案： D

3. 用反证法证明：两直线平行,同旁内角互补.

如图,$ l_1 // l_2 $,$ l_1 $,$ l_2 都被 l_3 $所截.
求证：$ ∠1 + ∠2 = 180° $.
证明：假设$ ∠1 + ∠2 $≠$ 180° $.
∵ $ l_1 // l_2 $(已知),
∴ $ ∠1 $=$ ∠3 $(两直线平行，同位角相等).
∵ $ ∠1 + ∠2 $≠$ 180° $,
∴ $ ∠3 + ∠2 ≠ 180° $,这和邻补角的定义矛盾.
∴ 假设$ ∠1 + ∠2 $≠$ 180° $不成立.
∴ $ ∠1 + ∠2 = 180° $.

答案： 证明：假设$∠1 + ∠2 ≠ 180°$.
∵ $l_1 // l_2$(已知),
∴ $∠1 = ∠3$(两直线平行，同位角相等).
∵ $∠1 + ∠2 ≠ 180°$,
∴ $∠3 + ∠2 ≠ 180°$,这和邻补角的定义矛盾.
∴ 假设$∠1 + ∠2 ≠ 180°$不成立.
∴ $∠1 + ∠2 = 180°$.

1. 如图,以点A(1,1)为圆心,AO为半径画圆,则点P(-1,1),Q(1,0),R(2,2)与⊙A的位置关系：
点P在圆外,点Q在圆内,点R在圆上.

答案： 圆外 圆内 圆上