《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例2 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-4x - 7 = 0$；
(2) $2x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$；
(3) $5x^{2}-3x = x + 1$；
(4) $x^{2}+17 = 8x$。

答案：
(1) 对于方程 $x^{2} - 4x - 7 = 0$：
$a = 1, b = -4, c = -7$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 1 × (-7) = 16 + 28 = 44$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 2 \pm \sqrt{11}$，
所以$x_{1} = 2 + \sqrt{11}$，$x_{2} = 2 - \sqrt{11}$。
(2) 对于方程 $2x^{2} - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$：
$a = 2, b = -2\sqrt{2}, c = 1$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4 × 2 × 1 = 8 - 8 = 0$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm 0}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$x_{1} = x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3) 对于方程 $5x^{2} - 3x = x + 1$，整理得：
$5x^{2} - 4x - 1 = 0$，
$a = 5, b = -4, c = -1$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 5 × (-1) = 16 + 20 = 36$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{10}$，
所以$x_{1} = 1$，$x_{2} = -\frac{1}{5}$。
(4) 对于方程 $x^{2} + 17 = 8x$，整理得：
$x^{2} - 8x + 17 = 0$，
$a = 1, b = -8, c = 17$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-8)^{2} - 4 × 1 × 17 = 64 - 68 = -4$，
因为 $\Delta ＜ 0$，所以方程无实数解。

例3 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+8x + q = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $q$ 的取值范围是(C)
A.$q\leqslant4$
B.$q\geqslant4$
C.$q＜16$
D.$q＞16$

答案： C

变式1 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是(B)
A.$k＞-1$
B.$k＞-1$ 且 $k\neq0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$ 且 $k\neq0$

答案： B

变式2 若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-2x - 1 = 0$ 有实数根,则 $k$ 的取值范围是(A)
A.$k\geqslant-1$
B.$k\geqslant-1$ 且 $k\neq0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$ 且 $k\neq0$

答案： A

2. 用公式法解下列方程：
(1) $(x + 1)(3x - 1)= 1$；
(2) $x^{2}+3 = 2\sqrt{3}x$。

答案：
(1)
解：原方程化为一般形式：
$3x^2 + 2x - 2 = 0$
其中 $a = 3$，$b = 2$，$c = -2$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × 3 × (-2) = 4 + 24 = 28 ＞ 0$
方程有两个不相等的实数根：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2 × 3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}$
即 $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$
(2)
解：原方程化为一般形式：
$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$
其中 $a = 1$，$b = -2\sqrt{3}$，$c = 3$
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4 × 1 × 3 = 12 - 12 = 0$
方程有两个相等的实数根：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{3} \pm 0}{2 × 1} = \sqrt{3}$
即 $x_1 = x_2 = \sqrt{3}$

1. 写出一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,b^{2}-4ac\geqslant0)$ 的求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

答案： $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-3x + k = 0$ 没有实数根,则一次函数 $y = kx + 1$ 的图象不经过第四象限。

答案： 四

3. 用公式法解方程 $4x^{2}-12x = 3$,得到(D)
A.$x= \frac{-3\pm\sqrt{6}}{2}$
B.$x= \frac{3\pm\sqrt{6}}{2}$
C.$x= \frac{-3\pm2\sqrt{3}}{2}$
D.$x= \frac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$

答案： D

4. 判断 $x= \frac{-3\pm\sqrt{3^{2}+4×2×1}}{2×2}$ 是下列哪个一元二次方程的根(C)
A.$2x^{2}+3x + 1 = 0$
B.$2x^{2}-3x + 1 = 0$
C.$2x^{2}+3x - 1 = 0$
D.$2x^{2}-3x - 1 = 0$

答案： C

5. 已知 $(m^{2}+n^{2})(m^{2}+n^{2}-2)-8 = 0$,则 $m^{2}+n^{2}$ 的值是(A)
A.4
B.-2
C.4 或 -2
D.-4 或 2

答案： A