《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

10. 如图,一次函数 $ y_{1} = kx + n(k \neq 0) $ 与二次函数 $ y_{2} = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象相交于 $ A(-1,5),B(9,2) $ 两点,则关于 $ x $ 的不等式 $ kx + n \geq ax^{2} + bx + c $ 的解集为(A)

A.$ -1 \leq x \leq 9 $
B.$ -1 \leq x ＜ 9 $
C.$ -1 ＜ x \leq 9 $
D.$ x \leq -1 $ 或 $ x \geq 9 $

答案： A

11. 若抛物线 $ y = -3(x + k)^{2} - k $ 的顶点在直线 $ y = 3x - 4 $ 上,则 $ k $ 的值为-2.

答案： -2

12. 抛物线 $ y = x^{2} - 4 $ 与 $ x $ 轴的两个交点和抛物线的顶点构成的三角形的面积为8.

答案： 8

13. 如图,直线 $ y = mx + n $ 与抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 交于 $ A(-1,p),B(4,q) $ 两点,则关于 $ x $ 的不等式 $ mx + n ＞ ax^{2} + bx + c $ 的解集是x ＜ -1或x ＞ 4.

答案： x ＜ -1或x ＞ 4

14. 设抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 过点 $ A(0,2),B(4,3),C $,其中点 $ C $ 在直线 $ x = 2 $ 上,且点 $ C $ 到抛物线的对称轴的距离为1,则抛物线的函数解析式为y = $\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x + 2$或y = -$\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + 2$.

答案： y = $\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x + 2$或y = -$\frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{4}x + 2$

15. (10分)定义：在平面直角坐标系中,函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点.
【定义解析】
例如：函数 $ y = \frac{1}{2}x + 1 $ 上的点 $ (2,2),(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}) $ 到两个坐标轴的距离相等,我们就称点 $ (2,2),(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}) $ 是函数 $ y = \frac{1}{2}x + 1 $ 图象的完美点.
(1)若点 $ (a + 1,-2a) $ 是一次函数 $ y = kx + 4 $ 第四象限图象的完美点,求 $ k $ 的值；
(2)求二次函数 $ y = x^{2} + x - 4 $ 图象的完美点；
【定义应用】
(3)若二次函数 $ y = ax^{2} - 2x + c(a ＞ 0) $ 的图象上有且只有一个完美点 $ (3,3) $,求二次函数的解析式.

答案：
(1)k = -3.
(2)(2,2)(-2,-2)(-1+$\sqrt{5}$,1-$\sqrt{5}$),(-1-$\sqrt{5}$,1+$\sqrt{5}$).
(3)y = $\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{9}{2}$.

16. (10分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销. 据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)求每天的销售利润 $ y $(单位：元)与销售单价 $ x $(单位：元)之间的函数解析式.
(2)当销售单价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本 = 每件的成本 × 每天的销售量)

答案：
(1)y = -5x² + 800x - 27500(50 ≤ x ≤ 100);
(2)当x = 80时,y最大值 = 4500;
(3)销售单价应控制在82元至90元之间.