《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) $3x^{2}-x = 2$ 化为一般形式：$3x^{2}-x - 2 = 0$。
二次项系数 $a = $3,一次项系数 $b = $-1,常数项 $c = $-2。
(2) $x(2x - 1)-3x(x - 2)= 0$ 化为一般形式：$-x^{2}+5x = 0$。
二次项系数 $a = $-1,一次项系数 $b = $5,常数项 $c = $0。

答案：
(1) $3x^{2}-x - 2 = 0$；3；-1；-2
(2) $-x^{2}+5x = 0$；-1；5；0

2. 用配方法解下列方程：
(1) $x^{2}-6x + 5 = 0$；
(2) $2x^{2}-7x + 3 = 0$。

答案：
(1)
首先，将方程 $x^{2}-6x + 5 = 0$ 移项得到 $x^{2}-6x=-5$。
接着，进行配方，在等式两边加上 $9$，即 $x^{2}-6x + 9=-5 + 9$。
根据完全平方公式可得 $(x - 3)^{2}=4$。
然后开方得 $x - 3=\pm2$。
当 $x - 3 = 2$ 时，$x_{1}=5$；当 $x - 3=-2$ 时，$x_{2}=1$。
(2)
先将方程 $2x^{2}-7x + 3 = 0$ 二次项系数化为 $1$，两边同时除以 $2$ 得 $x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$。
配方，在等式两边加上 $\frac{49}{16}$，即 $x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$。
根据完全平方公式可得 $(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{25}{16}$。
开方得 $x-\frac{7}{4}=\pm\frac{5}{4}$。
当 $x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$ 时，$x_{1}=3$；当 $x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$ 时，$x_{2}=\frac{1}{2}$。
综上，
(1)中方程的解为 $x_{1}=5$，$x_{2}=1$；
(2)中方程的解为 $x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。

3. 自学教科书第9页到第10页的内容,回答下列问题,并标记出你认为重要的内容。
(1) 探索用配方法解一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$：
移项,得 $ax^{2}+bx = $-c。
二次项系数化为1,得$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$。
配方,得 $x^{2}+\frac{b}{a}x+$$\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$$=-\frac{c}{a}+$$\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$,
即($x+\frac{b}{2a}$)$^{2}=$$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。
因为 $a\neq0$,所以 $4a^{2}＞0$,当式子 $b^{2}-4ac\geqslant0$ 时,直接开平方得 $x+\frac{b}{2a}=$$\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$x = $$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
(2) 用配方法求出方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的两根是什么？根是由方程中的哪些值确定的？
两根是$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；根由方程中的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$确定。
(3) 写出一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的求根公式。(不要忘记条件)
求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（条件：$b^{2}-4ac\geq0$）
(4) 什么叫公式法？
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
(5) 为什么说一元二次方程最多有两个实数根？
因为一元二次方程的求根公式中根号前有“$\pm$”，当$b^{2}-4ac＞0$时，有两个不相等的实数根；当$b^{2}-4ac=0$时，有两个相等的实数根；当$b^{2}-4ac＜0$时，没有实数根，所以最多有两个实数根。

答案：
(1)-c；$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；$\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$；$\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$；$x+\frac{b}{2a}$；$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$；$\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
(2)两根是$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；根由方程中的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$确定。
(3)求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（条件：$b^{2}-4ac\geq0$）
(4)用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
(5)因为一元二次方程的求根公式中根号前有“$\pm$”，当$b^{2}-4ac＞0$时，有两个不相等的实数根；当$b^{2}-4ac=0$时，有两个相等的实数根；当$b^{2}-4ac＜0$时，没有实数根，所以最多有两个实数根。

4. 自学教科书第11页例2,回答：
(1) 方程(3)是一般形式吗？遇到类似的题目怎么办？
(2) 请你总结用公式法解一元二次方程的一般步骤。
(3) 在确定 $a$,$b$,$c$ 的值时要注意什么？
(4) 方程(4)为什么没有实数根？
(5) 由例2你发现一元二次方程根的情况有哪几种？

答案：
(1)方程
(3)$x^{2} - 4x + 4 = 6$ 不是一般形式；
遇到类似的题目，先将其化为一元二次方程的一般形式 $ax^{2} + bx + c = 0(a\neq0)$。
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程整理成一般形式，确定 $a$，$b$，$c$ 的值；
计算出判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac$ 的值；
当 $\Delta\geq0$ 时，代入求根公式 $x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 求解。
(3)在确定 $a$，$b$，$c$ 的值时，要注意 $a$ 是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$ 是常数项，且都包括其前面的符号。
(4)方程
(4)整理后为 $x^{2}-x + 9= 0$，$\Delta = (-1)^{2} - 4×1×9 = 1 - 36 = -35\lt0$，所以没有实数根。
(5)一元二次方程根的情况有：
当 $\Delta\gt0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
当 $\Delta\lt0$ 时，方程没有实数根。