《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例 1 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠B = 90^{\circ}$,$AC = 13\ cm$,$AB = 5\ cm$,$\odot O内切于\triangle ABC$,求$\odot O$的半径.

拓展 利用切线长定理,可推出公式$r = \frac{AB + BC - AC}{2}$.

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B=90^{\circ}$，$AC=13\ cm$，$AB=5\ cm$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12\ cm$。
设$\odot O$与$AB$、$BC$、$AC$分别相切于点$D$、$E$、$F$，半径为$r$。
连接$OD$、$OE$、$OF$，则$OD\perp AB$，$OE\perp BC$，$OF\perp AC$，$OD=OE=OF=r$。
因为$\angle B=90^{\circ}$，所以四边形$ODBE$是矩形，又因为$OD=OE$，所以四边形$ODBE$是正方形，故$BD=BE=r$。
由切线长定理得：$AD=AF$，$CE=CF$。
因为$AD=AB - BD=5 - r$，$CE=BC - BE=12 - r$，$AF + CF=AC=13\ cm$，所以$AD + CE=13\ cm$，即$(5 - r)+(12 - r)=13$。
解得：$17 - 2r=13$，$2r=4$，$r=2\ cm$。
答：$\odot O$的半径为$2\ cm$。

1. 如图,$PA,PB切\odot O于点A,B$,$PA = 10$,$E是劣弧\overgroup{AB}$上的任意一点,过点$E的切线交PA,PB于C,D$两点,则$\triangle PCD$的周长是(B)

A.10
B.20
C.30
D.40

答案： B

1. 如图,点$O是\triangle ABC$的内切圆的圆心.若$∠A = 80^{\circ}$,则$∠BOC$的度数为(A)

A.$130^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： A

2. 如图,在$□ OABC$中,以$O$为圆心,$OC为半径的\odot O切AB于点B$,$F$是圆上一动点,作直线$AF交\odot O于另一点E$,当$EF = BC$时,$∠OAF$的度数是(B)

A.$15^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： B

3. 如图,$PA,PB,DE分别切\odot O于点A,B,C$,$DE分别交PA,PB于点D,E$.已知$P到\odot O的切线长为8\ cm$,则$\triangle PDE$的周长为16 cm.

答案： 16 cm

4. 如图,$\triangle ABC的内切圆\odot O分别与AB,AC,BC相切于点D,E,F$.若$∠C = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$BC = 8$,则$\odot O$的半径等于2.

答案： 2

如图,$PA,PB是\odot O$的切线,切点分别是$A,B$,直线$EF也是\odot O$的切线,切点为$Q$,交$PA,PB于点E,F$,$PA = 12\ cm$,$∠P = 40^{\circ}$.
(1) 求$\triangle PEF$的周长;
(2) 求$∠EOF$的度数.

答案：
(1)略;
(2)70°