《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

例1 当 $ m $ 取何值时,方程 $ (m-1)x^{m^{2}+1}+2mx+3= 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程?

答案： 根据题意，要使方程 $(m-1)x^{m^{2}+1}+2mx+3= 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，需要满足两个条件：
$m^{2} + 1 = 2$，以确保 $x$ 的最高次数为 $2$。
$m - 1 \neq 0$，以确保二次项系数不为 $0$。
首先解第一个方程 $m^{2} + 1 = 2$，得到 $m^{2} = 1$，即 $m = \pm 1$。
然后考虑第二个条件 $m - 1 \neq 0$，排除 $m = 1$。
所以，唯一满足条件的 $m$ 值是 $m = -1$。

例2 用适当的方法解下列方程：
(1) $ 9(6x-4)^{2}-96= 0 $;
(2) $ 4(x-1)^{2}= 9(2x+3)^{2} $;
(3) $ 2x^{2}-20x+25= 0 $;
(4) $ 5x(x-3)= (x+1)(x-3) $.

答案：
(1)解：9(6x-4)²=96
(6x-4)²=32/3
6x-4=±4√6/3
6x=4±4√6/3
x=2/3±2√6/9
(2)解：4(x-1)²-9(2x+3)²=0
[2(x-1)-3(2x+3)][2(x-1)+3(2x+3)]=0
(-4x-11)(8x+7)=0
-4x-11=0或8x+7=0
x=-11/4或x=-7/8
(3)解：a=2,b=-20,c=25
Δ=(-20)²-4×2×25=200
x=[20±√200]/(2×2)
x=(20±10√2)/4
x=(10±5√2)/2
(4)解：5x(x-3)-(x+1)(x-3)=0
(x-3)(5x-x-1)=0
(x-3)(4x-1)=0
x-3=0或4x-1=0
x=3或x=1/4

例3 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2= 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_{1},x_{2} $.
(1) 若 $ a $ 为正整数,求 $ a $ 的值；
(2) 若 $ x_{1},x_{2} $ 满足 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 16 $,求 $ a $ 的值.

答案：
(1)
方程 $x^{2} - 2(a - 1)x + a^{2} - a - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $\Delta＞0$。
$\Delta = b^{2}-4ac = [-2(a - 1)]^{2}-4×1×(a^{2}-a - 2)$
$=4(a^{2}-2a + 1)-4a^{2}+4a + 8$
$=4a^{2}-8a + 4-4a^{2}+4a + 8$
$=-4a+12$
由 $\Delta＞0$，即 $-4a + 12＞0$，解得 $a＜3$。
因为 $a$ 为正整数，所以 $a = 1$ 或 $a = 2$。
(2)
由韦达定理可知，对于一元二次方程 $Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，若方程的两根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，则 $x_{1}+x_{2}=-\frac{B}{A}$，$x_{1}x_{2}=\frac{C}{A}$。
对于方程 $x^{2}-2(a - 1)x+a^{2}-a - 2 = 0$，$x_{1}+x_{2}=2(a - 1)$，$x_{1}x_{2}=a^{2}-a - 2$。
已知 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=16$，根据完全平方公式 $(x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$，可得 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
则 $(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=16$。
把 $x_{1}+x_{2}=2(a - 1)$，$x_{1}x_{2}=a^{2}-a - 2$ 代入 $(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=16$ 得：
$[2(a - 1)]^{2}-3(a^{2}-a - 2)=16$
$4(a^{2}-2a + 1)-3a^{2}+3a + 6 = 16$
$4a^{2}-8a+4-3a^{2}+3a + 6 = 16$
$a^{2}-5a - 6 = 0$
$(a - 6)(a + 1)=0$
解得 $a = 6$ 或 $a=-1$。
又因为由
(1) 知 $\Delta=-4a + 12＞0$，$a＜3$，所以 $a=-1$。
综上，
(1) 中 $a$ 的值为 $1$ 或 $2$；
(2) 中 $a$ 的值为 $-1$。

1. 下列关于 $ x $ 的方程中,一元二次方程的个数是(B)
① $ \sqrt{2}x^{2}-\frac{2}{3}x= 0 $; ② $ \frac{x-1}{x}= 2x-1 $;
③ $ kx^{2}-3x+1= 0 $; ④ $ x^{2}-x^{2}(x^{2}+1)-3= 0 $.
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： B

2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (k+3)x^{2}-3kx+2k-1= 0 $,它一定是(C)
A.一元二次方程
B.一元一次方程
C.一元二次方程或一元一次方程
D.无法确定

答案： C

3. 一元二次方程 $ x^{2}-4x+3= 0 $ 的解为(B)
A.$ x_{1}= -1,x_{2}= 3 $
B.$ x_{1}= 1,x_{2}= 3 $
C.$ x_{1}= 1,x_{2}= -3 $
D.$ x_{1}= -1,x_{2}= -3 $

答案： B

4. 如果 $ x^{2}+x+1= (x+1)^{0} $,那么 $ x $ 的值为(B)
A.0或-1
B.0
C.-1
D.此方程无实数根

答案： B