《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

3. 圆的切线有无数条,其判定方法如下.

(1) 根据切线的定义:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
(2) 根据直线到圆心的距离 $ d $ 与半径 $ r $ 的大小关系:当$d = r$时,直线与圆相切.

答案： 圆的切线有无数条,其判定方法如下.
(1)根据切线的定义:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
(2)根据直线到圆心的距离$d$与半径$r$的大小关系:当$d = r$时,直线与圆相切.

1. 如图,$ OA $ 是 $ \odot O $ 的半径,直线 $ l $ 经过点 $ A $,$ l $ 与 $ OA $ 的夹角为 $ \alpha $,当 $ l $ 绕点 $ A $ 旋转时,

(1) 随着 $ \alpha $ 的变化,点 $ O $ 到 $ l $ 的距离如何变化? 直线 $ l $ 与 $ \odot O $ 的位置关系如何变化?
随着α增大距离增大，减小距离减小；α＜90°相交，α=90°相切。
(2) 当 $ \alpha $ 等于多少度时,点 $ O $ 到 $ l $ 的距离等于半径? 此时,直线 $ l $ 与 $ \odot O $ 有怎样的位置关系? 为什么?
90°；相切；圆心到直线距离等于半径。
【归纳总结】切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言:$\because OA $ 是 $ \odot O $ 的半径,$ CD \perp OA $,$\therefore CD $ 是 $ \odot O $ 的切线.
2. 从切线的判定定理可以看出,一条直线成为圆的切线时,直线必须满足两个条件:
(1)经过半径的外端;
(2)垂直于这条半径.
这两个条件缺一不可.
3. 把判定定理的题设和结论交换位置,得到切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。

答案： 1.
(1) 随着α增大距离增大，减小距离减小；α＜90°相交，α=90°相切。
(2) 90°；相切；圆心到直线距离等于半径。
【归纳总结】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.
(1)经过半径的外端；
(2)垂直于这条半径。
3.圆的切线垂直于过切点的半径。

例 2 如图,已知 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ \odot O $ 过 $ BC $ 的中点 $ D $,且 $ DE \perp AC $ 于点 $ E $. 试判断 $ DE $ 与 $ \odot O $ 的位置关系,并证明你的结论.

分析:判定一条直线是否为圆的切线时,看这条直线是否明显过圆上某一点,这时一般连接该点和圆心,只要说明该直线与半径垂直即可判定直线与圆相切,简记为“作半径证垂直”.

答案： $DE$ 与 $\odot O$ 相切。
连接 $OD$。
因为$D$ 是 $BC$ 的中点，$O$ 是 $AB$ 的中点，
所以$OD// AC$。
因为$DE\perp AC$，
所以$DE\perp OD$。
又因为$OD$ 是 $\odot O$ 的半径，
所以$DE$ 与 $\odot O$ 相切。