《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 一元二次方程的解法有哪几种？其基本思想是什么？

答案： 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
基本思想：降次，即将一元二次方程转化为一元一次方程。

2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

答案： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以二次项系数；
2. 移项：把常数项移到方程右边；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边化为完全平方式；
4. 开平方：若方程右边是非负数，两边开平方得两个一元一次方程；
5. 求解：解两个一元一次方程，得原方程的解。

3. 哪种形式的一元二次方程适合用直接开平方法求解？

答案： 形如$x^2 = a$（$a \geq 0$）的一元二次方程；形如$(x + m)^2 = n$（$n \geq 0$）的一元二次方程。

4. 用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？一元二次方程的求根公式是什么？

答案： 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.将方程化为一般形式$ax^{2} + bx + c = 0$（$a\neq 0$），确定$a$，$b$，$c$的值；
2.计算判别式$\Delta =b^{2}-4ac$的值；
3.当$\Delta\geqslant0$时，代入求根公式$x = \frac { - b \pm \sqrt { \Delta } } { 2 a }$求解；当$\Delta\lt0$时，方程无实数根。
一元二次方程的求根公式：$x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a }$（$a\neq 0$，$b^{2}-4ac\geqslant0$）。

5. 一元二次方程的根的情况有哪几种？是由什么值决定的？

答案： 一元二次方程的根的情况有三种：
1. 有两个不相等的实数根；
2. 有两个相等的实数根；
3. 没有实数根。
是由根的判别式的值决定的，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。

6. 因式分解的方法有哪几种？用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？

答案： 因式分解的方法主要有：提公取公因式法、公式法（包括平方差公式和完全平方公式）、十字相乘法（对于二次多项式，形如$ax^2 + bx + c$可以尝试十字相乘法，若可分解则为$(mx+n)(px+q)$的形式）、分组分解法（当多项式项数较多时，可将多项式分成几组，每组用上述方法分解，再利用提公因式或公式法进一步分解）。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
移项：将方程的所有项移到等式一侧，使等式另一侧为0；
因式分解：将移项后的多项式进行因式分解；
解方程：根据分解后的因式，令每个因式等于0，解得方程的根。

例 1 用直接开平方法解下列方程：
(1) $9(x - 1)^2 - 4 = 0$；
(2) $(2x - 1)^2 = 5$.

答案：
(1)
$9(x - 1)^2 - 4 = 0$
$9(x - 1)^2 = 4$
$(x - 1)^2 = \frac{4}{9}$
$x - 1 = \pm \frac{2}{3}$
$x_1 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
(2)
$(2x - 1)^2 = 5$
$2x - 1 = \pm \sqrt{5}$
$2x = 1 \pm \sqrt{5}$
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

例 2 用配方法解下列方程：
(1) $x^2 + 10x + 9 = 0$；
(2) $3x^2 - 4x + 2 = 0$.

答案：
(1)
移项，得$x^2 + 10x = -9$
配方，得$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$
即$(x + 5)^2 = 16$
开平方，得$x + 5 = \pm 4$
解得$x_1 = -1$，$x_2 = -9$
(2)
二次项系数化为1，得$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{2}{3} = 0$
移项，得$x^2 - \frac{4}{3}x = -\frac{2}{3}$
配方，得$x^2 - \frac{4}{3}x + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = -\frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2$
即$\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 = -\frac{2}{3} + \frac{4}{9} = -\frac{2}{9}$
因为$-\frac{2}{9} ＜ 0$，所以原方程无实数根

例 3 用公式法解下列方程：
(1) $2x^2 - 8x + 5 = 0$；
(2) $2x(x + 2) = (x + 1)^2$.

答案：
(1) 对于方程 $2x^2 - 8x + 5 = 0$：
首先确定系数 $a = 2, b = -8, c = 5$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 × 2 × 5 = 64 - 40 = 24$
由于 $\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实根。
使用公式法求解，得到：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2}$
(2) 对于方程 $2x(x + 2) = (x + 1)^2$：
首先展开和整理方程：
$2x^2 + 4x = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
确定系数 $a = 1, b = 2, c = -1$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × 1 × (-1) = 4 + 4 = 8$
由于 $\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实根。
使用公式法求解，得到：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

例 4 用因式分解法解下列方程：
(1) $3x^2 - 6x = -3$；
(2) $(x - 1)^2 = 1 - x$.

答案：
(1) 解：
原方程为 $3x^2 - 6x = -3$，
移项得 $3x^2 - 6x + 3 = 0$，
合并同类项并因式分解得 $3(x - 1)^2 = 0$，
根据因式分解结果，得 $x - 1 = 0$，
解得 $x_1 = x_2 = 1$。
(2) 解：
原方程为 $(x - 1)^2 = 1 - x$，
移项得 $(x - 1)^2 + (x - 1) = 0$，
因式分解得 $(x - 1)(x - 1 + 1) = 0$，
即 $(x - 1)x = 0$，
根据因式分解结果，得 $x - 1 = 0$ 或 $x = 0$，
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 0$。