《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

如图,OA= OB,AB交⊙O于点C,D,OE是半径,且OE⊥AB于点F.
(1)求证:AC= BD.
(2)若CD= 10,EF= 3,求⊙O的半径.

答案：
(1)略;
(2)$r=\frac{17}{3}$.

1. 如图,已知 $ CD $ 是直径,$ CD \perp AB $ 于 $ E $,则AE=BE,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。

答案： AE=BE，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$

2. 已知 $ CD $ 是直径,且平分弦 $ AB $,$ AB $ 不是直径,则CD⊥AB,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD。

答案： CD⊥AB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD

3. 在垂径定理的推论中,能去掉括号中“不是直径”这四个字吗？如图,$ AB $,$ CD $ 是$ \odot O $ 中两条直径,$ AB $ 平分弦 $ CD $,但 $ AB $ 与 $ CD $ 垂直吗？

答案： 不能去掉“不是直径”这四个字。
AB与CD不一定垂直。
理由：
∵AB，CD是⊙O的两条直径，
∴AB与CD互相平分（都过圆心O），
但两条直径的位置关系可以是垂直，也可以是不垂直，
例如图中AB与CD相交但不垂直时，AB仍平分CD。
结论：垂径定理的推论中“不是直径”这一条件不能去掉。

4. 如图,已知用 $ \overset{\frown}{AB} $ 来表示桥拱,请作出它的拱高。

答案： 1. 连接AB；
2. 作线段AB的垂直平分线，交$\overset{\frown}{AB}$于点C；
3. 线段CD（D为AB中点）即为拱高。

如图,过圆心 $ O $ 作 $ OE \perp AB $,垂足为点 $ E $,交 $ \odot O $ 于点 $ D $。其中 $ OE $ 叫做弦心距(即圆心到弦的距离),$ ED $ 叫做弓形高(弧的中点到弦的距离)。

已知弦长 $ AB = a $,弓形高 $ ED = h $,如何求弦心距 $ OE(d) $？半径 $ r $ 呢？
你能把自己的解题思路说给其他同学吗？
【归纳总结】上图中的4个量中,已知其中两个,均可求出另两个。

|已知弦长$a$,弓形高$h$|可由$r^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + (r - d)^2$,求得$r$| $d = \frac{a^2 - 4h^2}{8h}$|
|已知弦长$a$,弦心距$d$| $r = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + d^2}$| $h = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + d^2} - d$|
|已知弦长$a$,半径$r$| $d = \sqrt{r^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2}$| $h = r - \sqrt{r^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2}$|
|已知半径$r$,弦心距$d$| $a = 2\sqrt{r^2 - d^2}$| $h = r - d$|

答案： |已知弦长$a$,弓形高$h$|可由$r^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + (r - d)^2$,求得$r$| $d = \frac{a^2 - 4h^2}{8h}$|
|已知弦长$a$,弦心距$d$| $r = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + d^2}$| $h = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + d^2} - d$|
|已知弦长$a$,半径$r$| $d = \sqrt{r^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2}$| $h = r - \sqrt{r^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2}$|
|已知半径$r$,弦心距$d$| $a = 2\sqrt{r^2 - d^2}$| $h = r - d$|