《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 叫旋转. 旋转的性质是在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

答案： 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。

2. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称. 中心对称的性质是①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

答案： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合；
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3. 在平面内，绕某个点旋转$180^{\circ}$后能与自身重合的图形叫做中心对称图形.

答案： 在平面内，绕某个点旋转$180^{\circ}$后能与自身重合的图形

4. 两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点 $ P(x,y) $ 关于原点对称的点是 $ P' $ (-x,-y).

答案： 相反；-x；-y

5. 用平移、轴对称和旋转的组合设计一个图案,并说明设计的意义.

答案： 设计图案步骤：
1. 画一个基本图形：边长为2cm的正方形ABCD，顶点按顺时针排列。
2. 平移变换：将正方形ABCD向右平移4cm得到正方形A₁B₁C₁D₁。
3. 旋转变换：以点C为旋转中心，将正方形ABCD顺时针旋转90°得到正方形A₂B₂C₂D₂（C与C₂重合）。
4. 轴对称变换：作正方形ABCD关于直线l（直线l为AB、A₁B₁中点连线）的对称图形A₃B₃C₃D₃。
5. 组合上述图形，形成由4个正方形构成的“风车”状图案。
设计意义：通过平移、旋转、轴对称的组合，展现图形变换的和谐性与对称性，象征团结协作与积极向上的精神。

6. 强化记忆.
(1) 旋转及其性质.
(2) 中心对称及其性质.
(3) 中心对称图形及其性质.
(4) 关于原点对称的点的性质.
(5) 用平移、轴对称和旋转组合设计图案时应注意什么?

答案：
(1)旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度。性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；③对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小不变。
(2)中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合。性质：①对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；②对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。
(3)中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合。性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。
(4)关于原点对称的点的性质：点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y)。
(5)明确设计意图；确定基本图形；合理选择变换方式；注意变换顺序和变换量；保证图案的美观性和协调性。

例 1 (1) 如图,点 $ O $ 是正六边形 $ ABCDEF $ 的中心,下列图形可由 $ \triangle OBC $ 平移得到的是(C)

A. $ \triangle OCD $
B. $ \triangle OAB $
C. $ \triangle OAF $
D. $ \triangle OEF $
(2) 如图,以此图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转 $ 180^{\circ} $,再按顺时针方向旋转 $ 180^{\circ} $,得到的图形是(D)
A.
B.
C.
D.

(3) 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
A.
B.
C.
D.

答案：
(1)C
(2)D
(3)B

例 2 在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长都为 $ 1 $,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 构成的图形是中心对称图形.

(1) 画出此中心对称图形的对称中心 $ O $；
(2) 画出将 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 沿直线 $ DE $ 方向向上平移 $ 5 $ 格得到的 $ \triangle A_2B_2C_2 $；
(3) 要使 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 与 $ \triangle CC_1C_2 $ 重合,则 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 绕点 $ C_2 $ 按顺时针方向至少要旋转多少度? 画出旋转后的图形(不要求证明).

答案：
(1) 由中心对称性质，连接 $AC_1$ 和 $A_1C$ 或 $B_1A$ 和 $BA_1$，两条线的交点即为对称中心 $O$，坐标为 $(6,0)$（以方格纸左下为原点，横向为 $x$ 轴，纵向为 $y$ 轴）。
(2) 将 $\triangle A_1B_1C_1$ 的三个顶点分别沿 $DE$ 方向平移 $5$ 格，得到 $\triangle A_2B_2C_2$，其中 $A_2$、$B_2$、$C_2$ 的坐标分别为 $(9,2)$、$(11,0)$、$(10,1)$。
(3) $\triangle A_2B_2C_2$ 绕点 $C_2$ 顺时针旋转 $90°$ 后与 $\triangle CC_1C_2$ 重合。旋转后的 $\triangle A_2'B_2'C_2$ 中，$A_2'$ 和 $B_2'$ 的坐标分别为 $(10,3)$、$(12,2)$。