《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

变式 已知函数 $ y = (m - 2)x^{m^{2} - m} + mx + 1 $.
(1) 当 $ m $ 取何值时,$ y $ 是 $ x $ 的二次函数？
(2) 当 $ m $ 取何值时,$ y $ 是 $ x $ 的一次函数？

答案：
(1) $m = -1$；
(2) $m = 1$，$m = 2$，$m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$m = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$。

例 2 为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 $ 25 \, m $)的空地上修建一个矩形绿化带 $ ABCD $,绿化带一边靠墙,另外三边用总长为 $ 40 \, m $ 的栅栏围住. 若设绿化带的边 $ BC $ 长为 $ x \, m $,绿化带的面积为 $ y \, m^{2} $,如图所示.
求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.

答案： 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$BC = x \, m$，栅栏总长为 $40 \, m$，
∴ $AB = CD = \frac{40 - x}{2} = (20 - \frac{x}{2}) \, m$。
绿化带面积 $y = BC × AB = x(20 - \frac{x}{2})$，
整理得 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x$。
∵ 墙长 $25 \, m$，且 $BC$ 靠墙，
∴ $0 ＜ x \leq 25$。
又
∵ $AB = 20 - \frac{x}{2} ＞ 0$，解得 $x ＜ 40$，
∴ 自变量 $x$ 的取值范围为 $0 ＜ x \leq 25$。
综上，$y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x$，自变量 $x$ 的取值范围是 $0 ＜ x \leq 25$。

1. 观察式子：①$ y = 6x^{2} $；②$ y = -2x^{2} + 30x $；③$ y = 200x^{2} + 400x + 200 $. 在这三个式子中,虽然函数有一项的、两项的和三项的,但自变量的最高次项的次数都是2次. 一般地,形如 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a $,$ b $,$ c $ 是常数,$ a \neq 0 $)的函数,叫做二次函数.

答案： 2；二次函数

2. 把 $ y = (2 - 3x)(6 + x) $ 变成一般式为$y = -3x^{2} - 16x + 12$,其中二次项系数为-3,一次项系数为-16,常数项为12.

答案： 一般式为 $y = -3x^{2} - 16x + 12$；
二次项系数为 -3；
一次项系数为 -16；
常数项为 12。

3. 某同学参加大学同学的一次聚会,参加聚会的每两人都握了一次手. 设参加这次聚会的有 $ x $ 人,所有人共握手 $ y $ 次,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式为$y = \frac{x(x - 1)}{2}$.

答案： 答题卡：
根据题意，每两个人握一次手，即从$x$个人中任选2人进行握手。
使用组合公式，握手次数为$C_{x}^{2}$，即：
$y = C_{x}^{2} = \frac{x(x - 1)}{2}$。
故答案为：$y = \frac{x(x - 1)}{2}$。

1. 若函数 $ y = (m - 6)x^{2} + 2x + 3 $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则 $ m $ 的取值范围为m ≠ 6.

答案： m ≠ 6

2. 圆的半径为 $ r $,其周长为 $ C $,则 $ C $ 与 $ r $ 的解析式为C = 2πr,它是一次函数；若圆的面积为 $ S $,则 $ S $ 与 $ r $ 的解析式为S = πr²,它是二次函数.

答案： C = 2πr 一次 S = πr² 二次

3. 菱形两条对角线的和为 $ 26 \, cm $,则菱形的面积 $ S(cm^{2}) $ 与一条对角线长 $ x(cm) $ 的解析式为S = -$\frac{1}{2}x^{2}$ + 13x.

答案： S = -$\frac{1}{2}x^{2}$ + 13x

4. 用火柴棒按如图所示方式摆放：

设第 $ n $ 个图需要 $ y $ 根火柴棒,请写出 $ y $ 与 $ n $ 的函数解析式：y = $\frac{3}{2}n^{2}$ + $\frac{3}{2}n$.

答案： y = $\frac{3}{2}n^{2}$ + $\frac{3}{2}n$

如图,等腰直角三角形 $ ABC $ 以 $ 2 \, m/s $ 的速度沿直线 $ l $ 向正方形移动,直到 $ AB $ 与 $ CD $ 重合. 设 $ x \, s $ 时,三角形与正方形重叠部分的面积为 $ y \, m^{2} $.

(1) 写出 $ y $ 与 $ x $ 的解析式.
(2) 当 $ x = 2 $ 和 $ x = 3.5 $ 时,$ y $ 分别是多少？
(3) 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间？

答案：
(1)y = 2x²(0 ≤ x ≤ 5);
(2)当x = 2时,y = 8;当x = 3.5时,y = 24.5;
(3)5 s.