《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 如图, 在$\triangle ABC$中, 已知$\angle BAC = 120^{\circ}$, 以$BC为边向外作等边\triangle BCD$, 把$\triangle ABD绕着点D$,按顺时针方向旋转$60^{\circ}后得到\triangle ECD$. 若$AB = 3$,$AC = 2$,求$\angle BAD的度数与AD$的长.

答案： 解：
1. 旋转性质与全等三角形：

∵△ABD绕点D顺时针旋转60°得到△ECD，

∴△ABD≌△ECD，旋转角∠ADE=60°，AD=ED，AB=EC=3。
2. 等边三角形判定：

∵AD=ED，∠ADE=60°，

∴△ADE为等边三角形，故AE=AD，∠DAE=60°。
3. 三点共线证明：

∵△BCD为等边三角形，
∴∠BDC=60°，∠BCD=60°。

∵△ABD≌△ECD，
∴∠ABD=∠ECD。
在△ABC中，∠BAC=120°，则∠ABC+∠ACB=60°。

∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠ABC+60°（∠CBD=60°），

∴∠ECD=∠ABC+60°。

∴∠ACB+∠ECD=（60°-∠ABC）+（∠ABC+60°）=120°，

∴∠ACB+∠BCD+∠ECD=120°+60°=180°，即A、C、E三点共线。
4. AD长度计算：

∵A、C、E共线，
∴AE=AC+CE=2+3=5。

∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE=5。
5. ∠BAD度数计算：

∵△ADE为等边三角形，
∴∠AED=60°。

∵△ABD≌△ECD，
∴∠BAD=∠CED=∠AED=60°。
结论：∠BAD=60°，AD=5。

1. 如图,这些复杂的图案都是在一个图案的基础上,在“几何画板”软件中拖动一点后形成的,它们中每一个图案都可以由一个基本图案通过连续旋转得来,旋转的角度是(C)


A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： C

2. 把菱形$ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE$,下列角中不是旋转角的为(D)

A.$\angle BOF$
B.$\angle AOD$
C.$\angle COE$
D.$\angle COF$

答案： D

3. 下面各图中,哪些绕一点旋转$180^{\circ}$后能与原来的图形重合? (A)

A.①④⑤
B.①③⑤
C.②③⑤
D.②④⑤

答案： A

4. 如图,将$\triangle ABC绕点A顺时针旋转角\alpha$,得到$\triangle ADE$. 若点$E恰好在CB$的延长线上,则$\angle BED$等于(D)

A.$\frac{\alpha}{2}$
B.$\frac{2}{3}\alpha$
C.$\alpha$
D.$180^{\circ}-\alpha$

答案： D

5. 如图,$\triangle ABC和\triangle ADE均是顶角为42^{\circ}$的等腰三角形,$BC$,$DE$分别是底边. 将$\triangle ABD绕点A旋转42^{\circ}$后得到的图形是△ACE,它们之间的关系是全等,其中$BD = $CE.

答案： △ACE 全等 CE

6. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$,$AC = 1$,将$\triangle ABC绕点C按逆时针方向旋转得到\triangle A'B'C$,此时点$A'恰好在AB$边上,则点$B'与点B$之间的距离为$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$