《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 将抛物线 $ y = x^2 - 1 $ 向上平移 4 个单位后,所得抛物线是$y=x^2+3$；它们的形状相同；当 $ x = $$0$时,该抛物线有最小(填“大”或“小”)值,是$3$；在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： $y=x^2+3$；相同；$0$；小；$3$；减小

2. 将抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $ 向上平移4个单位,所得抛物线是 $ y = 2x^2 + 3 $,它们的开口方向向上,对称轴为y轴,顶点坐标分别为(0,-1)，(0,3)。

答案： 上；4；向上；y轴；(0,-1)，(0,3)

3. 抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $ 的开口方向向下,对称轴是经过点 $ (-1, 0) $ 且与 $ x $ 轴垂直的直线,我们把它记为x=-1,顶点坐标是(-1,0)；抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 $ 的开口方向向下,对称轴是x=1,顶点坐标是(1,0)。

答案： 向下；垂直；x=-1；(-1,0)；向下；x=1；(1,0)

画出二次函数 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $,$ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 $ 的图象,并思考它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和增减性。
列表：


描点并连线：

(1)观察图象并填表：

(2)请在上方直角坐标系中,画出抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的草图。
① 抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $,$ y = -\frac{1}{2}x^2 $,$ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 $ 的形状、大小______。
② 把抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 向左平移______个单位,就得到抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $；
把抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 向右平移______个单位,就得到抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 $。
【归纳总结】二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象和性质。
填表：

答案： 列表：
| $ x $ | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $ | … | -4.5 | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 | -4.5 | … |
| $ x $ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 $ | … | -4.5 | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 | -4.5 | … |
(1)观察图象并填表：
| 抛物线 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 最值 | 增减性 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $ | 向下 | (-1, 0) | 直线$ x = -1 $ | 最大值0 | 当$ x ＜ -1 $时，$ y $随$ x $增大而增大；当$ x ＞ -1 $时，$ y $随$ x $增大而减小 |
| $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 $ | 向下 | (1, 0) | 直线$ x = 1 $ | 最大值0 | 当$ x ＜ 1 $时，$ y $随$ x $增大而增大；当$ x ＞ 1 $时，$ y $随$ x $增大而减小 |
(2)
① 相同
② 1；1
【归纳总结】
| $ a $的取值 | 图象 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 增减性 | 最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ a ＞ 0 $ | | 向上 | $ (h, 0) $ | 直线$ x = h $ | 当$ x ＜ h $时，$ y $随$ x $的增大而减小；当$ x ＞ h $时，$ y $随$ x $的增大而增大 | 当$ x = h $时，$ y $有最小值，最小值为0 |
| $ a ＜ 0 $ | | 向下 | $ (h, 0) $ | 直线$ x = h $ | 当$ x ＜ h $时，$ y $随$ x $的增大而增大；当$ x ＞ h $时，$ y $随$ x $的增大而减小 | 当$ x = h $时，$ y $有最大值，最大值为0 |