《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 将抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2$向下平移1个单位长度,得到抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2 - 1$。

答案： 下；1

3. 抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$的开口方向向下,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,-1)$。

答案： 向下；直线$x=-1$；$(-1,-1)$

用描点法画出函数$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$的图象。
- 列表：

- 描点并连线：

(1)结合图象说出抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$的开口方向、对称轴和顶点坐标。抛物线$y = -\frac{1}{2}x^2经过怎样的平移能得到抛物线y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$？
开口方向：向下。对称轴：$x = - 1$。顶点坐标：$( - 1, - 1)$。抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}$向左平移$1$个单位长度，再向下平移$1$个单位长度得到抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}-1$。
(2)抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1与y = -\frac{1}{2}x^2$的形状相同,位置不同。
(3)二次函数$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$,当$x ＜ -1$时,函数值$y随x$的增大而增大；当$x ＞ -1$时,函数值$y随x$的增大而减小；当$x = -1$时,函数值取最大值,最值$y = $$-1$。
思考：
(1)用类比的方法能否指出抛物线$y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$的开口方向、对称轴和顶点坐标？
开口方向：向上。对称轴：$x = - 1$。顶点坐标：$( - 1, - 1)$。
(2)抛物线$y = \frac{1}{2}x^2经过怎样平移能得到抛物线y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$？
抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2}$向左平移$1$个单位长度，再向下平移$1$个单位长度得到抛物线$y = \frac{1}{2}(x + 1)^{2}-1$。
【归纳总结】二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图象和性质。
(1)填表：

| $a$的取值 | 图象 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 增减性 | 最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a \gt 0$ | | 向上 | $(h,k)$ | $x = h$ | 当$x \lt h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x \gt h$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x = h$时，$y$取最小值，最值为$k$ |
| $a \lt 0$ | | 向下 | $(h,k)$ | $x = h$ | 当$x \lt h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x \gt h$时，$y$随$x$的增大而减小 | 当$x = h$时，$y$取最大值，最值为$k$ |
(2)平移：抛物线$y = a(x - h)^2 + k与y = ax^2$的形状相同,位置不同,它们之间可以通过平移得到,平移方向、距离由$h$,$k$的值决定,平移前后$a$的值不变。
平移口诀：上加下减,左加右减。

答案：
(1)
开口方向：向下。
对称轴：$x = - 1$。
顶点坐标：$( - 1, - 1)$。
抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}$向左平移$1$个单位长度，再向下平移$1$个单位长度得到抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}-1$。
(2)
形状：相同。
位置：不同。
(3)
当$x \lt - 1$时，$y$随$x$的增大而增大。
当$x \gt - 1$时，$y$随$x$的增大而减小。
当$x = - 1$时，函数值取最大值，最值$y = - 1$。
思考：
(1)
开口方向：向上。
对称轴：$x = - 1$。
顶点坐标：$( - 1, - 1)$。
(2) 抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2}$向左平移$1$个单位长度，再向下平移$1$个单位长度得到抛物线$y = \frac{1}{2}(x + 1)^{2}-1$。
【归纳总结】
(1)
| $a$的取值 | 图象 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 增减性 | 最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a \gt 0$ | | 向上 | $(h,k)$ | $x = h$ | 当$x \lt h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x \gt h$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x = h$时，$y$取最小值，最值为$k$ |
| $a \lt 0$ | | 向下 | $(h,k)$ | $x = h$ | 当$x \lt h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x \gt h$时，$y$随$x$的增大而减小 | 当$x = h$时，$y$取最大值，最值为$k$ |
(2)
形状：相同。
位置：不同。
平移前后$a$的值：不变。