《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

2. 自学教科书第 16 页例 4,并解答下列问题.
不解方程,求下列方程两个根的和与积：
(1) $x^2 - 2x + 1 = 0$；
(2) $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

答案： 答题卡：
(1) 对于方程 $x^{2} - 2x + 1 = 0$：
根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程为 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个根 $x_1$ 和 $x_2$ 的和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，积 $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
对于方程 $x^{2} - 2x + 1 = 0$，其中 $a = 1, b = -2, c = 1$。
所以，两个根的和为：$x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2$。
两个根的积为：$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{1} = 1$。
(2) 对于方程 $2x^{2} - 3x + 1 = 0$：
同样根据一元二次方程的根与系数的关系，对于方程 $2x^{2} - 3x + 1 = 0$，其中 $a = 2, b = -3, c = 1$。
所以，两个根的和为：$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$。
两个根的积为：$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2}$。

1. 解下列方程：
(1) $x^2 - 2x = 0$；
(2) $x^2 + 3x - 4 = 0$；
(3) $x^2 - 5x + 6 = 0$.
2. 将上面得到的解填到下面的表格中,你发现表格中两个解的和、积与原来的方程有什么联系？

3. 猜想：设方程 $x^2 + px + q = 0$,则有 $x_1 + x_2 = $$-p$；$x_1x_2 = $$q$.
4. 应用：不解方程,求下列方程两个根 $x_1$,$x_2$ 的和与积.
(1) $x^2 - 6x - 15 = 0$,$x_1 + x_2 = $$6$,$x_1x_2 = $$-15$；
(2) $3x^2 + 7x - 9 = 0$,$x_1 + x_2 = $$-\frac{7}{3}$,$x_1x_2 = $$-3$；
(3) $5x - 1 = 4x^2$,$x_1 + x_2 = $$\frac{5}{4}$,$x_1x_2 = $$\frac{1}{4}$；
(4) $x^2 + x = 5x + 6$,$x_1 + x_2 = $$4$,$x_1x_2 = $$-6$.
5. 当二次项系数不为 1 时,方程的根与系数又有怎样的关系呢？
一般地,对于关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 用求根公式求出它的两个根 $x_1$,$x_2$,由一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的求根公式知,

能得出以下结果：
$x_1 + x_2 = $$-\frac{b}{a}$,即两根之和等于$-\frac{b}{a}$；
$x_1x_2 = $$\frac{c}{a}$,即两根之积等于$\frac{c}{a}$.

答案： 1.
(1) $x(x - 2)=0$，
$x = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$。
(2) 分解因式得$(x + 4)(x - 1)=0$，
$x + 4 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_1 = - 4$，$x_2 = 1$。
(3) 分解因式得$(x - 2)(x - 3)=0$，
$x - 2 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
2.
|方程|$x_1$|$x_2$|$x_1 + x_2$|$x_1x_2$|
|----|----|----|----|----|
|$x^2 - 2x = 0$|0|2|2|0|
|$x^2 + 3x - 4 = 0$|-4|1|-3|-4|
|$x^2 - 5x + 6 = 0$|2|3|5|6|
3. $x_1 + x_2=-p$；$x_1x_2 = q$。
4.
(1) $x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2=-15$。
(2) 方程化为$x^2+\frac{7}{3}x - 3 = 0$，$x_1 + x_2=-\frac{7}{3}$，$x_1x_2=-3$。
(3) 方程化为$4x^2-5x + 1 = 0$，$x_1 + x_2=\frac{5}{4}$，$x_1x_2=\frac{1}{4}$。
(4) 方程化为$x^2-4x - 6 = 0$，$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2=-6$。
5.
$x_1 + x_2=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$；
$(-b)^2-(\sqrt{b^2 - 4ac})^2=b^2-(b^2 - 4ac)=4ac$；
$\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，即两根之和等于$-\frac{b}{a}$；
$x_1x_2=\frac{c}{a}$，即两根之积等于$\frac{c}{a}$。