《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 的图象是直线；当 $ k ＞ 0 $ 时,图象必过一、三象限,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ k ＜ 0 $ 时,图象必过二、四象限,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

答案： 直线；一、三；增大；二、四；减小

2. 观察：① $ y = x^2 $；② $ y = \frac{1}{2 - x^2} $；③ $ y = x(2 - x) $；④ $ y = 3x^2 - (3x^2 + 2x - 1) $；⑤ $ y = ax^2 + bx + c $. 其中是二次函数的是①③.(填序号)

答案： ①③

3. 一般地,二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象叫做抛物线. 它们都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 顶点是抛物线的最高点或最低点.

答案： 抛物线；对称轴；最高点；最低点

4. 一般地,抛物线 $ y = ax^2 $ 的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0). 当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,$ a $ 越大,抛物线的开口越小,当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,$ a $ 越大,抛物线的开口越小.

答案： y轴；(0,0)；上；低点；小；下；高点；小

用描点法画 $ y = x^2 $ 的图象.
提示：画图象的一般步骤如下.
①列表：取几组 $ x,y $ 的对应值.
②描点：根据表格中 $ x,y $ 的数值在坐标平面中描点 $ (x,y) $.
③连线：用平滑的曲线连接各点.
列表：

描点并连线：

【归纳总结】二次函数 $ y = x^2 $ 的图象是一条抛物线,开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0). 当 $ x = 0 $ 时,函数有最小值,图象有最低点；当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 增大而增大；$ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 增大而减小.

答案： 抛物线；上；y轴；(0,0)；小；低；增大；减小

例 1 在同一直角坐标系中,画出函数 $ y = \frac{1}{2}x^2,y = x^2,y = 2x^2 $ 的图象.
列表：
| $ x $ | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
|--------|---|----|----|----|---|---|---|---|---|
| $ y=\frac{1}{2}x^2 $ | … | 4.5 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 4.5 | … |
| $ y=x^2 $ | … | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | … |
| $ x $ | … | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | … |
|--------|---|------|----|------|---|---|---|------|---|
| $ y=2x^2 $ | … | 4.5 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 4.5 | … |
描点并连线：
（注：此处需在坐标系中描出上述各点，并用平滑曲线连接，形成三条抛物线。）
观察图象并填表：
| 抛物线 | $ y=x^2 $ | $ y=\frac{1}{2}x^2 $ | $ y=2x^2 $ |
|--------|------------|-----------------------|-------------|
| 开口方向 | 向上 | 向上 | 向上 |
| 顶点坐标 | $ (0,0) $ | $ (0,0) $ | $ (0,0) $ |
| 对称轴 | $ y $轴 | $ y $轴 | $ y $轴 |
思考：当 $ a ＞ 0 $ 时,二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象有什么特点？
当 $ a＞0 $ 时，二次函数 $ y=ax^2 $ 的图象开口向上，顶点坐标为 $ (0,0) $，对称轴为 $ y $轴，且 $ a $ 的绝对值越大，抛物线开口越窄；$ a $ 的绝对值越小，抛物线开口越宽。

答案： 列表：
| $ x $ | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
|--------|---|----|----|----|---|---|---|---|---|
| $ y=\frac{1}{2}x^2 $ | … | 4.5 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 4.5 | … |
| $ y=x^2 $ | … | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | … |
| $ x $ | … | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | … |
|--------|---|------|----|------|---|---|---|------|---|
| $ y=2x^2 $ | … | 4.5 | 2 | 0.5 | 0 | 0.5 | 2 | 4.5 | … |
描点并连线：
（注：此处需在坐标系中描出上述各点，并用平滑曲线连接，形成三条抛物线。）
观察图象并填表：
| 抛物线 | $ y=x^2 $ | $ y=\frac{1}{2}x^2 $ | $ y=2x^2 $ |
|--------|------------|-----------------------|-------------|
| 开口方向 | 向上 | 向上 | 向上 |
| 顶点坐标 | $ (0,0) $ | $ (0,0) $ | $ (0,0) $ |
| 对称轴 | $ y $轴 | $ y $轴 | $ y $轴 |
思考：
当 $ a＞0 $ 时，二次函数 $ y=ax^2 $ 的图象开口向上，顶点坐标为 $ (0,0) $，对称轴为 $ y $轴，且 $ a $ 的绝对值越大，抛物线开口越窄；$ a $ 的绝对值越小，抛物线开口越宽。