《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积$S随矩形一边长l$的变化而变化,当$l$是多少米时,场地的面积$S$最大?

答案： $l=15$

变式1

为改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带$ABCD$,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住,如图.若设绿化带$BC边长为x$m,绿化带的面积为$y$m^2.
(1)求$y与x$的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围.
(2)当$x$为何值时,绿化带的面积最大?

答案：
(1) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x$，$0 ＜ x \leq 25$
(2) 20

变式2
上题中“若设绿化带$BC边长为x$m”改为“若绿化带$CD边长为x$m”,其他不变.
【归纳总结】
对不确定自变量的题目应该灵活选取自变量,减小解题的难度.

答案： S=-0.5x²+20x，最大值200 m²

变式3
如图,用一段长为40m的篱笆围成一边靠墙的草坪,墙长16m.当这个矩形的长和宽分别为多少时,草坪面积最大?最大面积为多少?

【归纳总结】
当顶点的横坐标不在自变量取值范围时,掌握二次函数最值的求法.

答案： 长为16m，宽为12m，最大面积为192$m^2$。

1. 如图,用长8m的铝合金条制成矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是(C)

A.$\frac{64}{25}$m^2
B.$\frac{4}{3}$m^2
C.$\frac{8}{3}$m^2
$D.4m^2$

答案： C

2. 如图,四边形$ABCD的两条对角线AC$,$BD$互相垂直,$AC + BD = 10$.当$AC$,$BD$的长是多少时,四边形$ABCD$的面积最大? 最大面积是多少?

答案： 设 $AC = x$，则 $BD = 10 - x$，四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$。
由于 $AC$ 和 $BD$ 互相垂直，四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 可以表示为：
$S = \frac{1}{2} × AC × BD$
$S = \frac{1}{2} × x × (10 - x)$
$S = 5x - \frac{1}{2}x^{2}$
$S = -\frac{1}{2}x^{2} + 5x$
$S = -\frac{1}{2}(x^{2} - 10x)$
$S = -\frac{1}{2}(x^{2} - 10x + 25) + \frac{25}{2}$
$S = -\frac{1}{2}(x - 5)^{2} + 12.5$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此当 $x = 5$ 时，$S$ 取得最大值，即 $S_{max} = 12.5$。
此时，$AC = 5$，$BD = 10 - 5 = 5$。
答：当 $AC = BD = 5$ 时，四边形 $ABCD$ 的面积最大，最大面积为 $12.5$。