《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 判断两个三角形相似有哪些方法?

答案： 1. 两角分别相等的两个三角形相似；
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3. 三边成比例的两个三角形相似。

2. 相似三角形有什么性质?

答案： 相似三角形的性质：
1. 对应角相等；
2. 对应边成比例；
3. 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
4. 周长的比等于相似比；
5. 面积的比等于相似比的平方。

3. 相同时刻的物高和影长成正比例（或 成正比）.

答案： 成正比例（或 成正比）。

4. 如图, 学校操场上的旗杆的高度是多少? 你有什么办法测量?

答案： 设旗杆高度为$h$米，同一时刻测量一个已知高度为$a$米的物体的影子长度为$b$米，旗杆的影子长度为$c$米。
因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$（$AB$为旗杆，$A'B'$为已知物体，$BC$、$B'C'$分别为它们的影长），
根据相似三角形的性质，对应边成比例，则有$\frac{h}{a}=\frac{c}{b}$，
所以$h = \frac{a× c}{b}$。
答：通过测量已知物体高度及其影长和旗杆影长，利用公式$h = \frac{a× c}{b}$可算出旗杆高度。

例1 据传说, 古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理在金字塔影子的顶部立一根木杆, 借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.
如图, 如果木杆 $EF$ 长 $2m$, 它的影长 $FD$ 为 $3m$, 测得 $OA$ 为 $201m$, 求金字塔的高度 $BO$. (思考: 如何测出 $OA$ 的长? )
分析: 根据太阳光的光线是互相平行的特点, 可知在同一时刻的阳光下, 竖直的两个物体的影子互相平行, 从而构造相似三角形. 再利用相似三角形的判定和性质, 根据已知条件, 求出金字塔的高度.

答案： $\because 太阳光是平行光线$,
$\therefore BA // ED$,
$\therefore \angle BAO = \angle EDF$,
$\angle BOA = \angle EFD$,
$\therefore \triangle ABO \sim \triangle DEF$,
$\therefore \frac{BO}{EF} = \frac{OA}{FD}$，
$\because EF = 2m$, $FD = 3m$, $OA = 201m$,
$\therefore \frac{BO}{2} = \frac{201}{3}$，
$\therefore BO = 134m$。
$\therefore 金字塔的高度 BO 为 134m$。

例2 如图, 为了估算河的宽度, 我们可以在河对岸选定一个目标 $P$, 在近岸取点 $Q$ 和 $S$, 使点 $P, Q, S$ 共线且直线 $PS$ 与河垂直. 接着在过点 $S$ 且与 $PS$ 垂直的直线 $a$ 上选择适当的点 $T$, 确定 $PT$ 与过点 $Q$ 且垂直 $PS$ 的直线 $b$ 的交点 $R$. 如果测得 $QS = 45m$, $ST = 90m$, $QR = 60m$, 求河的宽度 $PQ$.

答案： 设河的宽度 $PQ = x$ 米。
由于 $PS \perp PA$，$QS \perp PA$，$QR \perp PA$，
所以 $QR // PS$。
根据相似三角形的性质，$\triangle PQR \sim \triangle PST$（因为两个三角形都有一个直角，并且它们有一个公共角 $\angle P$，所以它们相似）。
根据相似三角形的对应边成比例，有：
$\frac{PQ}{PS} = \frac{QR}{ST}$，
由于 $PS = PQ + QS$，代入已知数值，得：
$\frac{x}{x + 45} = \frac{60}{90}$，
解这个方程，得：
$90x = 60(x + 45)$，
$90x = 60x + 2700$，
$30x = 2700$，
$x = 90$。
经检验，$x = 90$ 是原方程的解，且符合题意。
答：河的宽度 $PQ$ 为 $90$ 米。