《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

变式 如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是 $ 12 \, m $,宽是 $ 4 \, m $. 按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用 $ y = - \frac{1}{6}x^{2} + bx + c $ 表示,且抛物线上的点 $ C $ 到 $ OB $ 的水平距离为 $ 3 \, m $,到地面 $ OA $ 的距离为 $ \frac{17}{2} \, m $.
(1) 求抛物线的函数解析式,并求出拱顶 $ D $ 到地面 $ OA $ 的距离.
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后的高为 $ 6 \, m $,宽为 $ 4 \, m $. 如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3) 在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等. 如果灯离地面的高度不超过 $ 8 \, m $,那么两排灯的水平距离最小是多少?

答案：
(1)
依题意，$B(0,4)$，$C(3,\frac{17}{2})$，
将$B(0,4)$，$C(3,\frac{17}{2})$代入$y = - \frac{1}{6}x^{2} + bx + c$，
得$\begin{cases}c = 4,\\-\frac{1}{6}×3^{2} + 3b + c=\frac{17}{2}.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 2,\\c = 4.\end{cases}$
所以抛物线的函数解析式为$y = -\frac{1}{6}x^{2} + 2x + 4$，
因为$y = -\frac{1}{6}x^{2} + 2x + 4=-\frac{1}{6}(x - 6)^{2} + 10$，
所以拱顶$D$到地面$OA$的距离为$10m$。
(2)
由（1）知对称轴为$x = 6$，
当$x = 6 + 4 = 10$时，
$y = -\frac{1}{6}×(10 - 6)^{2} + 10=\frac{28}{3}\gt 6$，
所以这辆货车能安全通过。
(3)
令$y = 8$，
则$-\frac{1}{6}(x - 6)^{2} + 10 = 8$，
解得$x_{1} = 6 + 2\sqrt{3}$，$x_{2} = 6 - 2\sqrt{3}$，
则$x_{1}-x_{2}=4\sqrt{3}$，
所以两排灯的水平距离最小是$4\sqrt{3}m$。

1. 如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面 $ 2 \, m $ 时,水面宽 $ 4 \, m $. 若水面下降 $ 2.5 \, m $,则水面宽度为(B)

A.$ 3 \, m $
B.$ 6 \, m $
C.$ 8 \, m $
D.$ 9 \, m $

答案： B

2. 某幢建筑物,从 $ 10 \, m $ 高的窗口 $ A $ 用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(如图,抛物线所在平面与墙面垂直). 如果抛物线的最高点 $ M $ 离墙 $ 1 \, m $,离地面 $ \frac{40}{3} \, m $,那么水流落地点 $ B $ 离墙(B)

A.$ 2 \, m $
B.$ 3 \, m $
C.$ 4 \, m $
D.$ 5 \, m $

答案： B

3. 如图是一座抛物线形拱桥,已知水位在 $ AB $ 位置时,水面宽 $ 4\sqrt{6} \, m $,水位上升 $ 3 \, m $ 就达到警戒线 $ CD $,这时水面宽 $ 4\sqrt{3} \, m $. 若洪水到来时,水位以每小时 $ 0.25 \, m $ 的速度上升,求水位超过警戒线后几小时能淹到拱桥顶.

答案： 设抛物线方程为 $y = ax^{2} + bx + c$（由于抛物线关于y轴对称，且顶点在y轴上，所以 $b = 0$）。
根据题意，当水位在AB位置时，即点 $A(-2\sqrt{6}, y_1)$ 和点 $B(2\sqrt{6}, y_1)$ 在抛物线上，设此时 $y_1 = 0$（取水面为x轴，则水面与抛物线的交点y坐标为0）。
代入得：
$0 = a(2\sqrt{6})^{2} + c \implies 24a + c = 0$，
当水位达到警戒线CD时，即点 $C(-2\sqrt{3}, 3)$ 和点 $D(2\sqrt{3}, 3)$ 在抛物线上。
代入得：
$3 = a(2\sqrt{3})^{2} + c \implies 12a + c = 3$，
联立上述两个方程：
$\begin{cases}24a + c = 0 \\12a + c = 3\end{cases}$，
解得：
$\begin{cases}a = -\frac{1}{4} \\c = 6\end{cases}$，
因此，抛物线的方程为：
$y = -\frac{1}{4}x^{2} + 6$，
抛物线的顶点为(0,6)，即拱桥顶到警戒线CD的距离为 $6 - 3 = 3$（m）。
水位以每小时 $0.25$ m 的速度上升，所以水位超过警戒线后淹到拱桥顶所需的时间为：
$t = \frac{3}{0.25} = 12$（小时）。
答：水位超过警戒线后12小时能淹到拱桥顶。