《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

11. (14 分)如图 1,C,D 是半圆 ACB 上的两点,点 P 是直径 AB 上一点,且满足∠APC = ∠BPD,则称∠CPD 是弧 CD 的“幸运角”.
(1)如图 2,若弦 CE⊥AB,D 是弧 BC 上的一点,连接 DE 交 AB 于点 P,连接 CP. 求证：∠CPD 是弧 CD 的“幸运角”.
(2)如图 3,若直径 AB = 2,弦 CE⊥AB,弧 CD 的“幸运角”为 90°,求 CD 的长.

答案：
(1)略;
(2)$CD=\sqrt{2}$.

12. (14 分)如图,⊙O 的直径 AB 为 10 cm,弦 BC 为 6 cm,D,E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O,AB 的交点,P 为 AB 延长线上一点,且 PC = PE.
(1)求 AC,AD 的长度；
(2)试判断直线 PC 与⊙O 的位置关系,并说明理由.

答案：
(1)连接$BD$,$AC=8\ cm$,$AD=5\sqrt{2}\ cm$;
(2)相切(提示:连接$OC$).

13. (15 分)已知 AB 是⊙O 的直径,AT 是⊙O 的切线,∠ABT = 50°,BT 交⊙O 于点 C,E 是 AB 上一点,连接 CE 并延长交⊙O 于点 D.
(1)如图(1),连接 BD,求∠T 和∠CDB 的度数；
(2)如图(2),连接 OD,当 BE = BC 时,求∠CDO 的度数.

答案：
(1)$\angle T=40^{\circ}$,$\angle CDB=40^{\circ}$;
(2)$\angle CDO=15^{\circ}$.