《2025年智慧学习明天出版社九年级数学全一册人教版》

1. 说一说:因式分解的方法有几种?

答案： 因式分解的方法主要有以下几种：
1. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
2. 公式法：
平方差公式：$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$。
完全平方公式：$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$。
3. 十字相乘法：对于二次三项式$x^{2}+(a + b)x+ab$，可分解为$(x + a)(x + b)$。

2. 做一做:把下列各式进行因式分解.
(1) $ 2x^{2}-12x= $$2x(x - 6)$;
(2) $ 9x^{2}+6x+1= $$(3x + 1)^2$;
(3) $ 4x^{2}-9= $$(2x + 3)(2x - 3)$;
(4) $ x^{2}-5x+6= $$(x - 2)(x - 3)$;
(5) $ 3x(x - 1)-2(x - 1)= $$(x - 1)(3x - 2)$;
(6) $ x^{2}-8x+16= $$(x - 4)^2$.

答案：
(1) $2x(x - 6)$
(2) $(3x + 1)^2$
(3) $(2x + 3)(2x - 3)$
(4) $(x - 2)(x - 3)$
(5) $(x - 1)(3x - 2)$
(6) $(x - 4)^2$

3. 判断对错.
(1)若 $ a = 0 $ 或 $ b = 0 $,则 $ ab = 0 $. (正确)
(2)若 $ ab = 0 $,则 $ a = 0 $ 或 $ b = 0 $. (正确)

答案：
(1)
答：正确。
若$a = 0$，则$ab = 0× b = 0$；
若$b = 0$，则$ab = a×0 = 0$。
所以“若$a = 0$或$b = 0$，则$ab = 0$”这一说法正确。
(2)
答：正确。
根据乘积为$0$的性质，若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$。
所以当$ab = 0$时，必然有$a = 0$或$b = 0$，该说法正确。

5. 自学教科书第 14 页例 3 和归纳部分,总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤.

答案： 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
1. 将方程的右边化为0，使方程左边可以分解成两个一次因式的乘积；
2. 将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
3. 根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；
4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

1. 一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗? 如果相等,这个数是几? 你是怎样求出来的? 小颖、小明、小亮都设这个数为 $ x $.
小颖的解法如下:
解:$ x^{2}-3x = 0 $.
$\therefore x= \frac{3\pm\sqrt{9}}{2}$.
$\therefore$ 这个数是 0 或 3.
小明的解法如下:
解:方程 $ x^{2}= 3x $ 两边同时约去 $ x $,
得 $ x = 3 $,
$\therefore$ 这个数是 3.
小亮的解法如下:
解:由方程 $ x^{2}= 3x $,得 $ x^{2}-3x = 0 $,
$\therefore x(x - 3)= 0$.
$\therefore x = 0 $ 或 $ x - 3 = 0 $.
$\therefore x_{1}= 0,x_{2}= 3$.
这三名同学的解法对吗? 你是怎么认为的?
1. 小颖和小亮的解法对，小明的解法不对。
2. 仔细观察小亮对方程的解法:对于一元二次方程,先因式分解,使方程化为两个一次因式乘积等于$0$的形式,再使每个一次因式分别等于$0$,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
3. 提示:用因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边必须等于零. 解法的关键是熟练掌握因式分解的方法.
4. 用因式分解法解一元二次方程的步骤:
(1)将方程右边化为0;
(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积;
(3)令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.

答案： 1. 小颖和小亮的解法对，小明的解法不对。
2. 两个一次因式乘积等于$0$；每个一次因式分别等于$0$；降次；因式分解法。
4.
(1)$0$；
(2)乘积；
(3)$0$。

例 用因式分解法解下列方程:
(1) $ x(x - 2)+x - 2 = 0 $;
(2) $ 5x^{2}-2x-\frac{1}{4}= x^{2}-2x+\frac{3}{4} $;
(3) $ (x + 5)^{2}= 3x + 15 $;
(4) $ 16(x - 2)^{2}= 9(x + 3)^{2} $.

答案：
(1)
$x(x - 2)+x - 2 = 0$，
$(x - 2)(x + 1) = 0$，
则$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
(2)
$5x^{2}-2x-\frac{1}{4}=x^{2}-2x+\frac{3}{4}$，
$5x^{2}-2x-\frac{1}{4}-x^{2}+2x - \frac{3}{4}=0$，
$4x^{2}-1 = 0$，
$(2x + 1)(2x - 1)=0$，
$2x + 1 = 0$或$2x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。
(3)
$(x + 5)^{2}=3x + 15$，
$(x + 5)^{2}-3(x + 5)=0$，
$(x + 5)(x + 5 - 3)=0$，
$(x + 5)(x + 2)=0$，
$x + 5 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_{1}=-5$，$x_{2}=-2$。
(4)
$16(x - 2)^{2}=9(x + 3)^{2}$，
$16(x - 2)^{2}-9(x + 3)^{2}=0$，
$[4(x - 2)+3(x + 3)][4(x - 2)-3(x + 3)] = 0$，
$(4x-8 + 3x + 9)(4x-8 - 3x - 9)=0$，
$(7x + 1)(x - 17)=0$，
$7x + 1 = 0$或$x - 17 = 0$，
解得$x_{1}=-\frac{1}{7}$，$x_{2}=17$。